2022-2022学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高一(上)第三次月考数学试卷一、选择题(本大题共有12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的.)1.下列函数是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=2xB.y=log2xC.y=|x|D.y=x﹣22.已知集合A={x∈Z|0<x≤3},则集合A的非空子集个数为()个.A.15B.16C.7D.83.已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(9)=()A.3B.C.9D.4.三个数70.3,0.37,log30.7的大小关系是()A.B.70.3>0.37>log30.7C.0.37>70.3>log30.7D.5.函数y=ax与y=﹣logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能是()A.B.C.D.-14-\n6.在用二分法求方程x3﹣x﹣1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可判定该根所在区间为()A.(1,1.25)B.(1,1.5)C.(1.5,2)D.(1.25,1.5)7.已知函数f(x)=2﹣x和函数x,则函数f(x)与g(x)的图象关于()对称.A.x轴B.y轴C.直线y=xD.原点8.已知R是实数集,集合P={m∈R|mx2+4mx﹣4<0对∀x∈R都成立},Q={x|y=ln(x2+2x)},则(∁RP)∩(∁RQ)=()A.{x|﹣2≤x≤﹣1}B.{x|﹣2≤x≤﹣1或x=0}C.{x|﹣2≤x<﹣1}D.{x|﹣2≤x<﹣1或x=0}9.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示,请根据以上数据作出分析,这个经营部将销售单价定为()元时才能获得最大的利润.销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240A.10.5B.6.5C.12.5D.11.510.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上单调递减,且有f(2)=0,则使得(x﹣1)•f(log3x)<0的x的范围为()A.(1,2)B.C.D.11.给出下列命题:(1)函数和是同一个函数;(2)若函数,则函数f(x)的单调递减区间是(k>0)的最大值和最小值分别为M和m,则M+m=__________.-14-\n三、解答题(本大题共有6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(1)已知,求x+x﹣1的值;(2)计算的值.18.(1)请你举2个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a•b)=f(a)+f(b)”的函数的例子;(2)请你举2个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)•f(b)”的函数的例子;(3)请你举2个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a•b)=f(a)•f(b)”的函数的例子.19.已知函数f(x)=1﹣,x∈(﹣∞,0),判断f(x)的单调性并用定义证明.20.已知函数f(x)=4x2﹣kx﹣8在【考点】奇偶性与单调性的综合.【专题】计算题;函数思想;方程思想;分析法;函数的性质及应用.【分析】判断函数的奇偶性,然后判断函数的单调性,推出结果即可.【解答】解:由题意可知y=2x,y=log2x,不是偶函数,所以A,B不正确;y=|x|是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增,C不正确;y=x﹣2是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减.故选:D.【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力.2.已知集合A={x∈Z|0<x≤3},则集合A的非空子集个数为()个.A.15B.16C.7D.8【考点】子集与真子集.-14-\n【专题】集合思想;综合法;集合.【分析】根据题意,用列举法表示集合A,可得集合A中元素的个数,进而由集合的元素数目与非空子集数目的关系,计算可得答案.【解答】解:集合A={x|0<x≤3,x∈Z}={1,2,3},有3个元素,则其非空子集有23﹣1=7个;故选:C.【点评】本题考查集合的元素数目与子集数目的关系,若集合中有n个元素,则其有2n﹣1个非空子集.3.已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(9)=()A.3B.C.9D.【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】计算题;函数思想;方程思想;待定系数法;函数的性质及应用.【分析】利用待定系数法求出f(x)的表达式即可.【解答】解:设f(x)=xα,则f(2)=2α=,解得α=,则f(x)=,f(9)==3,故选:A.【点评】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解,利用待定系数法是解决本题的关键.4.三个数70.3,0.37,log30.7的大小关系是()A.B.70.3>0.37>log30.7C.0.37>70.3>log30.7D.【考点】对数值大小的比较.【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【解答】解:∵70.3>1,0<0.37<1,log30.7<0,-14-\n∴70.3>0.37>log30.7,故选:B.【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5.函数y=ax与y=﹣logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能是()A.B.C.D.【考点】指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质.【专题】数形结合.【分析】本题是选择题,采用逐一排除法进行判定,再根据指对数函数图象的特征进行判定.【解答】解:根据y=﹣logax的定义域为(0,+∞)可排除选项B,选项C,根据y=ax的图象可知0<a<1,y=﹣logax的图象应该为单调增函数,故不正确选项D,根据y=ax的图象可知a>1,y=﹣logax的图象应该为单调减函数,故不正确故选A【点评】本题主要考查了指数函数的图象,以及对数函数的图象,属于基础题.6.在用二分法求方程x3﹣x﹣1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可判定该根所在区间为()A.(1,1.25)B.(1,1.5)C.(1.5,2)D.(1.25,1.5)【考点】函数零点的判定定理.【专题】计算题;函数思想;转化思想;试验法;函数的性质及应用.-14-\n【分析】由题意构造函数f(x)=x3﹣x﹣1,求方程x3﹣2x﹣1=0的一个近似解,就是求函数在某个区间内有零点,因此把x=1,2,1.5,代入函数解析式,分析函数值的符号是否异号即可.【解答】解:令f(x)=x3﹣2x﹣1,则f(1)=﹣1<0,f(2)=5>0,f(1.5)=0.875>0,由f(1)f(1.5)<0知根所在区间为(1,1.5).故选:B.【点评】此题是个基础题.考查二分法求方程的近似解,以及方程的根与函数的零点之间的关系,体现了转化的思想,同时也考查了学生分析解决问题的能力.7.已知函数f(x)=2﹣x和函数x,则函数f(x)与g(x)的图象关于()对称.A.x轴B.y轴C.直线y=xD.原点【考点】函数的图象与图象变化.【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用.【分析】利用反函数关于直线y=x对称,推出结果即可.【解答】解:因为函数f(x)=2﹣x和函数x互为反函数,所以两个函数的图象关于y=x对称,故选:C.【点评】本题考查函数与反函数的关系,基本知识的考查.8.已知R是实数集,集合P={m∈R|mx2+4mx﹣4<0对∀x∈R都成立},Q={x|y=ln(x2+2x)},则(∁RP)∩(∁RQ)=()A.{x|﹣2≤x≤﹣1}B.{x|﹣2≤x≤﹣1或x=0}C.{x|﹣2≤x<﹣1}D.{x|﹣2≤x<﹣1或x=0}【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】转化思想;定义法;集合.【分析】求出结合的等价条件,利用集合的基本运算进行求解即可.【解答】解:mx2+4mx﹣4<0对∀x∈R都成立,-14-\n则当m=0时,不等式等价为﹣4<0成立,满足条件,若m≠0,则不等式等价为,即,即﹣1<m<0,综上﹣1<m≤0,即P=(﹣1,0].Q={x|y=ln(x2+2x)}={x|x2+2x>0}={x|x>0或x<﹣2},则∁RP={x|x>0或x≤﹣1},∁RQ={x|﹣2≤x≤0},则(∁RP)∩(∁RQ)={x|﹣2≤x≤﹣1},故选:A.【点评】本题主要考查集合的基本运算,求出集合的等价条件是解决本题的关键.9.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示,请根据以上数据作出分析,这个经营部将销售单价定为()元时才能获得最大的利润.销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240A.10.5B.6.5C.12.5D.11.5【考点】根据实际问题选择函数类型.【专题】应用题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.【分析】设每桶水的价格为(6+x)元,公司日利润y元,然后根据销售利润=日均销售量×销售单价利润,建立等式关系,然后根据二次函数的性质求出x=﹣即可.【解答】解:设每桶水的价格为(6+x)元,公司日利润y元,则:y=(6+x﹣5)(480﹣40x)﹣200,=﹣40x2+440x+280,∵﹣40<0,∴当x=﹣=5.5时函数有最大值,因此,每桶水的价格为11.5元,公司日利润最大.故选:D.-14-\n【点评】本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值,利用数学知识解决实际问题是高考中考查的重点.10.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上单调递减,且有f(2)=0,则使得(x﹣1)•f(log3x)<0的x的范围为()A.(1,2)B.C.D.【考点】奇偶性与单调性的综合.【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论.【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上是减函数,∴函数f(x)在.故选:A.【点评】本题考查了恒成立问题,考查了函数奇偶性的性质,运用了数学转化思想方法,解答此题的关键是由对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x)得到不等式4a2﹣(﹣4a2)≤1,是中档题.二、填空题(本大题共有4个小题,每小题5分,共20分)13.命题“若x>0,则”的逆否命题为若,则x≤0.【考点】四种命题间的逆否关系.【专题】计算题;规律型;转化思想;数学模型法;简易逻辑.【分析】直接利用逆否命题写出结果即可.【解答】解:命题“若x>0,则”的逆否命题为:若,则x≤0.故答案为:若,则x≤0.【点评】本题考查逆否命题的定义的应用,基本知识的考查.14.已知f(1+x)=x2+2x﹣1,则f(x)=x2﹣2.【考点】函数解析式的求解及常用方法.【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用.-14-\n【分析】直接利用配方法,求解函数的解析式即可.【解答】解:f(1+x)=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2,则f(x)=x2﹣2.故答案为:x2﹣2.【点评】本题考查函数的解析式的求法,考查计算能力.15.已知关于x方程|x2+2x﹣3|=a(a∈R)有两个实数解,则a的取值范围是a=0,或a>4,.【考点】函数的零点与方程根的关系.【专题】数形结合;转化思想;数形结合法;函数的性质及应用.【分析】画出函数y=|x2+2x﹣3|的图象,数形结合,可得满足条件的a的取值范围.【解答】解:函数y=|x2+2x﹣3|的图象,由函数y=x2+2x﹣3的图象纵向对折变换得到,如下图所示:若关于x方程|x2+2x﹣3|=a(a∈R)有两个实数解,则a=0,或a>4,故答案为:a=0,或a>4【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系,画出满足条件的函数图象,是解答的关键.16.已知函数,x∈(k>0)的最大值和最小值分别为M和m,则M+m=8.【考点】函数的最值及其几何意义.-14-\n【专题】整体思想;构造法;函数的性质及应用.【分析】由函数f(x)变形,构造函数g(x)=log2(x+)+,x∈(k>0),判断它为奇函数,设出最大值和最小值,计算即可得到所求最值之和.【解答】解:函数=log2(x+)+5﹣=log2(x+)++4,构造函数g(x)=log2(x+)+,x∈(k>0),即有g(﹣x)+g(x)=log2(﹣x+)++log2(x+)+=log2(1+x2﹣x2)++=0,即g(x)为奇函数,设g(x)的最大值为t,则最小值即为﹣t,则f(x)的最大值为M=t+4,最小值为m=﹣t+4,即有M+m=8.故答案为:8.【点评】本题考查函数的最值的求法,注意运用构造函数,判断奇偶性,考查运算能力,属于中档题.三、解答题(本大题共有6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(1)已知,求x+x﹣1的值;(2)计算的值.【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.-14-\n【分析】(1)利用平方关系,直接求解即可.(2)利用对数运算法则以及指数运算法则化简求解即可.【解答】解:(1),x+x﹣1==9﹣2=7(2)=2﹣2×2﹣log63﹣log62=﹣3.【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂运算法则的应用,考查计算能力.18.(1)请你举2个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a•b)=f(a)+f(b)”的函数的例子;(2)请你举2个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)•f(b)”的函数的例子;(3)请你举2个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a•b)=f(a)•f(b)”的函数的例子.【考点】抽象函数及其应用.【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.【分析】根据条件分别判断抽象函数满足的函数模型进行求解即可.【解答】解:(1)满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a•b)=f(a)+f(b)”的函数模型为对数函数模型,则f(x)=log2x或f(x)=logx满足条件;(2)满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)•f(b)”的函数模型为指数函数模型,则f(x)=2x或f(x)=()x满足条件;(3)满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a•b)=f(a)•f(b)”的函数模型是幂函数模型,则f(x)=x2或f(x)=x满足条件;【点评】本题主要考查抽象函数的理解和应用,根据指数函数,对数函数,幂函数的数学模型是解决本题的关键.-14-\n19.已知函数f(x)=1﹣,x∈(﹣∞,0),判断f(x)的单调性并用定义证明.【考点】函数单调性的判断与证明.【专题】证明题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】可以看出x增大时,增大,从而f(x)增大,从而得出该函数在(﹣∞,0)内单调递增.根据增函数的定义,设任意的x1<x2<0,然后作差,通分,证明f(x1)<f(x2)即可得出f(x)在(﹣∞,0)内单调递增.【解答】解:x增大时,减小,增大,f(x)增大,∴f(x)在(﹣∞,0)内单调递增,证明如下:设x1<x2<0,则:;∵x1<x2<0;∴x1﹣x2<0,x1x2>0;∴f(x1)<f(x2);∴f(x)在(﹣∞,0)内单调递增.【点评】考查增函数的定义,以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程,作差的方法比较f(x1),f(x2),作差后,是分式的一般要通分.20.已知函数f(x)=4x2﹣kx﹣8在∴A={x|x≥2且x≠4}.(2)f(x)=(log2x﹣3)(log2x﹣2)=﹣5log2x+6=﹣,∵x∈A,∴log2x≥1,且log2x≠2,∴当log2x∈;当log2x∈时,f(x)∈;-14-\n当log2x∈时,f(x)∈.∴函数f(x)的值域是【点评】本题考查了函数的定义域与值域、对数的运算性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.22.设函数g(x)=3x,h(x)=9x(1)解方程:h(x)﹣24g(x)﹣h(2)=0;(2)令,求的值;(3)若是实数集R上的奇函数,且f(h(x)﹣1)+f(2﹣k•g(x))>0对任意实数x恒成立,求实数k的取值范围.【考点】函数恒成立问题.【专题】综合题;转化思想;换元法;函数的性质及应用.【分析】(1)整理可得9x﹣24×3x﹣81=0,解二次方程得3x=27,进而求出x值;(2)求出=,发现题中所求自变量值和等于1,探索p(x)+p(1﹣x)=+=1,进而得出=1006+p()=;(3)利用函数的单调性,奇偶性得出32x﹣1>k•3x﹣2对任意的x∈R都成立,转换为恒成立问题进行求解.【解答】解:(1)h(x)﹣24g(x)﹣h(2)=0,∴9x﹣24×3x﹣81=0,∴3x=27,x=3;(2)令=,-14-\n∴p(1﹣x)=,∵p(x)+p(1﹣x)=+=1,∴=1006+p()=;(3)因为是实数集R上的奇函数,所以,解得a=﹣3,b=1,经检验符合题意,从而,由指数函数性质知:f(x)在实数集R上单调递增.由f(h(x)﹣1)+f(2﹣k•g(x))>0得f(h(x)﹣1)>﹣f(2﹣k•g(x)),又因为f(x)是实数集R上的奇函数,所以f(h(x)﹣1)>f(k•g(x)﹣2)又因为f(x)在实数集R上单调递增,所以h(x)﹣1>k•g(x)﹣2,即32x﹣1>k•3x﹣2对任意的x∈R都成立,即对任意的x∈R都成立,令≥2,∴k<2.【点评】考查了利用换元法解不等式,利用条件,找出题中的等量关系,恒成立问题.-14-