2022—2022学年度第一学期高二（理科）第二次月考数学试题满分：150考试时间：120分钟一．选择题（每小题5分，共60分）1．已知命题：，则（C）A．B．C．D．2．双曲线=1的实轴长是（C）A．3B.4C．6D．83．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( D )A．①的逆命题为真B．②的逆命题为真C．①的逆否命题为真D．②的逆否命题为真4.等差数列的前项和，若，则(C)5．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( B )A.B.C.D.6．若，则的最小值是（D）Ａ． Ｂ． Ｃ．2 Ｄ．37．在中，角、、所对应的边分别为、、，则是的（A）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是( C )A．x2＋y2＝3 B．y＝C．x2＋2xy＝1(x≠±1)D．x2＋y2＝9(x≠0)9．某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（C）7\nA.B.2C.2或D.310．椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标( A )A．±B．±C．±D．±11.不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是( D)A.B.C.D.12.不等式组的解集记为.有下面四个命题：：，：,：，：.其中真命题是( B ).，.，.，.，二．填空题（每小题5分，共20分）13．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是14．一元二次不等式ax＋bx＋20的解集是(－,)，则a＋b的值是____-14______15．椭圆的离心率为，则的值为____4或__-______16．已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为.7\n三、解答题（6小题，共70分）17．（10分）已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的标准方程.因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，（2）A点的坐标为(±，4)，（4）设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，（5）所以（7）解得（9）所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.（10）18．（12分）的内角所对的边分别为.（1）若成等差数列，证明：；（2）若成等比数列，且，求的值.7\n由余弦定理得19.（12分）已知命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为，命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．由题意得，命题p和命题q一真一假．p命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.7\nq命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－.p真q假时，＜a≤1，p假q真时，－1≤a＜－，∴p、q中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|＜a≤1或－1≤a＜－}．20．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1，需矿石4，煤3，生产乙种产品1，需矿石5，煤10．每1甲种产品的利润是7万元，每1乙种产品的利润是12万元．工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200，煤不超过300，则甲、乙两种产品应各生产多少，才能使利润总额达到最大？（1）设甲、乙各应生产，则有，（2）目标函数，当时，取到最大值428万元．答：略．21．（12分）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.（I）证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.【解析】：(Ⅰ)由题设，，两式相减7\n，由于，所以…………6分（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；证明时，{}为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，∴数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，∴∴（），因此，存在存在，使得{}为等差数列.………12分22.如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)已知面积为40,求的值7\n7
