广东省中山市第一中学2022-2022学年高一数学上学期第一次段考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.设，则A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，易得：，又∴故选：C2.设集合，则A.B.C.D.【答案】B【解析】，∴故选：B3.设集合，则图中阴影部分表示的集合是A.B.C.D.【答案】A【解析】略4.已知集合，则A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意是的子集，所以有或，结合，解得或，故选B．-10-\n考点：集合的性质．5.下列四个函数中，在上为增函数的是A.B.C.D.【答案】C【解析】A项,在上为减函数,故A项错误;B项,在上为减函数,故B项错误;C项,在上为增函数,故C项正确;D项,在上为减函数,故D项错误;因此本题应选C.6.已知，则A.B.C.D.【答案】D【解析】∵∴故选：D7.已知，则三者的大小关系是A.B.C.D.【答案】A【解析】由函数的图象与性质可知：；由函数的图象与性质可知：；∴故选：A8.已知函数，则A.是偶函数，且在上是增函数B.是奇函数，且在上是增函数C.是偶函数，且在上是减函数D.是奇函数，且在上是减函数【答案】B【解析】试题分析：，所以该函数是奇函数，并且-10-\n是增函数，是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.9.已知函数若，则A.B.C.D.【答案】C【解析】∵函数∴或解得：故选：C10.设函数是R上的奇函数，已知，则在上是（）A.增函数且B.减函数且C.增函数且D.减函数且【答案】C【解析】因为函数是R上的奇函数，所以图象关于原点中心对称，在对称区间上单调性相同，函数值符号相反，所以在上是增函数且.故选：C11.函数的图象的大致形状是A.B.C.D.-10-\n【答案】B【解析】函数，因为，所以在上单调递增，且函数值为正；在上单调递减，且函数值为负,故选：B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．12.对于函数的定义域中任意的，有如下结论：①；②；③.当时，上述结论中正确的有个．A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】当时，①==①正确；由①可知②；不正确；③;说明函数是增函数,而是增函数，所以③正确；故选：B.-10-\n二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数的定义域是________________．【答案】【解析】由题意，易得：，解得：∴函数的定义域是14.若函数在[-1,2]上的最大值为4，最小值为m，则m=______．【答案】或【解析】当时，函数在[-1,2]上单调递增，∴，解得：当时，函数在[-1,2]上单调递减，∴，解得：故m=或15.已知函数为R上的奇函数，则数__________．【答案】【解析】∵函数为R上的奇函数∴，即，∴.点睛：函数为R上的奇函数，易得：，在对称区间上单调性相同，函数值互为相反数，利用特例及性质本题可以速解，也可以利用函数的奇偶性定义来处理，同样可以得到结果.16.函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：-10-\n①函数是单函数；②若为单函数，且，则；③若为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．其中的真命题是________________．（写出所有真命题的编号）【答案】②③【解析】②是原命题的逆否命题，故正确；③符合函数的概念，正确；取特殊值，当时，故①不正确；④混淆区间和定义域，不正确。 三、解答题（共6小题，合计70分）17.化简：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）化负指数为正指数，由有理指数幂的运算性质得答案；（2）化根式为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．试题解析：解：(1)原式=；（2）．18.若集合．（1）若，全集，试求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）-10-\n【解析】试题分析：（1）根据集合的基本运算求，即可求；（2）根据，可得：A⊆B，借助数轴即可求实数m的取值范围．试题解析：解： 集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）当m=3时，由x﹣m＜0，得x＜3，∴B={x|x＜3}，∴U=A∪B={x|x＜4}，那么∁UB={x|3≤x＜4}．∴A∩（∁UB）={x|3≤x＜4}．（2）∵A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，∵A∩B=A，∴A⊆B，故：m≥4．∴实数m的取值范围是[4，+∞）．点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．19.设函数．（1）用定义证明函数在区间上是单调递减函数；（2）求在区间上的最值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．（2）利用（1）中的单调性求最值．试题解析：解：（1）由定义得，所以函数在区间上是单调递减函数；-10-\n（2）∵函数在区间上是单调递减函数,.点睛：明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.20.已知是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足．(1)求的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)3；(2)．【解析】试题分析：（1）令x=y=2，可求得f（4），进而可求得f（8）的值；（2）由（1）f（8）=3，可求得不等式⇔f（x）＞f（8x﹣16），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数即可求得答案．试题解析：解：(1)由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)又∵f(2)＝1，∴f(8)＝3；(2)不等式化为f(x)＞f(x－2)＋3∵f(8)＝3，∴f(x)＞f(x－2)＋f(8)＝f(8x－16)∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴，解得.21.已知函数的最小值为．（1）求的值；（2）求的解析式．【答案】（1）-4；（2）【解析】试题分析：（1）由a=2，求得f（t）=（t﹣2）2﹣4，即可得到最小值g（2）；（2）运用换元法和二次函数的对称轴和区间的关系，对a展开讨论，即可得到最小值的表达式．试题解析：（1）a=2时，f（x）=4x﹣4•2x（﹣1≤x≤2）-10-\n=（2x﹣2）2﹣4，令t=2x（≤t≤4），即有f（t）=（t﹣2）2﹣4，由于2∈[，4]，可得最小值g（2）=﹣4；（2）函数f（x）=4x﹣a•2x+1（﹣1≤x≤2），令t=2x（≤t≤4），则f（t）=t2﹣2at=（t﹣a）2﹣a2，当a≤时，区间[，4]为增区间，即有t=取得最小值﹣a；当＜a＜4时，当t=a时，取得最小值﹣a2；当a≥4时，区间[，4]为减区间，即有t=4取得最小值16﹣8a．即有．22.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足R(x)=.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？【答案】（1）（1，8.2）（2）240【解析】试题分析：（1）由题意，设利润函数为解即可；（2）分别求各段上的最大值，比较大小从而求最高盈利；（3）当时，(万元)，（万元∕百台），从而得结果.试题解析：解：（Ⅰ）由题意，得g（x）=x+2，-10-\n设利润函数为f（x），则f（x）=R（x）﹣g（x）=，由f（x）＞0，解得1＜x≤5或5＜x＜8.2，即1＜x＜8.2，故要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内．（Ⅱ）当0≤x≤5时，f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，即当x=4时有最大值3.6；当x＞5时，f（x）＜8.2﹣5=3.2．故当工厂生产400台产品时，可使盈利最多为3.6万元．（Ⅲ）当x=4时，R（4）=9.6（万元），=2.4（万元/百台），故盈利最多时，每台产品的售价为240元．【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)-10-
