山西省阳泉二中2022-2022学年高二数学上学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）1．已知直线l：x＋y－1＝0，则l的倾斜角为( )A．30° B．45° C．60° D．135°2．某同学做一玩具，其三视图如图所示，他欲将该玩具全部用铁皮包裹，则所需要铁皮的面积为（）A．5πB．12πC．16πD．20π（第2题图）3．两条直线l1：2x＋y＋c＝0，l2：x－2y＋1＝0的位置关系是( )A．垂直B．平行C．重合D．不能确定4．点P(1,-1)到直线l:的距离是（ ）A．B．C．D．5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，体对角线BD1和平面ABCD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为( )A．6B．－6C．D.－7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，F为CC1上的点，则下列直线中一定与EF垂直的是( )A．AC B．BD C．A1D1 D．A1A8．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( )A．相交B．相离C．内切D．外切（第7题图）9．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3-8-\n10．（文科）已知直线l：3x－4y＋m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M、N两点，若|MN|＝2，则m的值是( )A．0B．5C．10D.0或10（理科）已知直线l：3x－4y＋m＝0和圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，且圆C上至少存在两点到直线l的距离为1，则m的取值范围是( )A．(-17,13)B．(－17，－7)C．(－17，－7)∪(3,13)D．[－17，－7]∪[3,13]二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）资11.以点C(2,-1)为圆心、3为半径的圆的标准方程为.12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=,AA1=2,则异面DD1和BC1所成角的大小是.(第12题图)13.经过两条直线x+y-3=0和x-2y+3=0的交点，且与直线2x+y-7=0平行的直线方程是．14.点D为△ABC所在平面外一点，E、F分别为DA和DC上的点，G、H分别为BA和BC上的点，且EF和GH相交于点M，则点M一定在直线上.15．若直线l：y=x+m和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0只有一个公共点，则m=.16.（文科）一个长方体的长、宽、高分别为4、、3，若它的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是.（理科）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，且SC⊥平面ABC,若SC=AB=AC=1,∠BAC=120°,则球O的表面积为.三、解答题(本大题共5个小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程)17.(10分)△ABC的三个顶点的坐标分别是A(0,0),B(0,6),C(4，8),求它的外接圆的方程.18．(10分)如图，BD是空间四边形ABCD的一条对角线，平行四边形EFGH的各顶点-8-\n分别在边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥平面EFGH.(第18题图)19.(10分)已知线段AB的端点B的坐标是（4，4），端点A在圆O：上运动，求AB中点M的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形.(第19题图)20．(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为1的正方形，侧棱PD＝1，PA＝PC＝，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)（文科）求点A到平面PBC的距离；（理科）求二面角P－AC－D的正切值．(第20题图)21.(10分)已知圆C:,直线.(1)求证：对,直线与圆总有两个不同的交点；-8-\n(2)设直线与圆交于A、B两点,O为坐标原点，若OA⊥OB,求实数的值.-8-\n2022—2022学年度第一学期期中试题参考答案高二数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）文科：DBADBABCCD理科：DBADBABCCA二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.;12.600或；13.2x+y-4=0;14.AC15.-2或2；16.文：36，理：5.三、解答题(本大题共5个小题，共52分，解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程)17.(10分)解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则∴D=-8,E=-6,F=0,.........................5分∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-6y=0..................................10分（其它方法酌情给分）18．(10分)证明：∵四边形EFGH是平行四边形，∴EH∥FG，∵EH平面ABD,FG平面ABD,∴FG∥平面ABD,∵FG平面CBD,平面CBD∩平面ABD=BD,∴BD∥FG，∵FG平面EFGH,BD平面EFGH,∴BD∥平面EFGH...............................................10分（其它方法酌情给分）19.(10分)解：设M(x,y),A(x0,y0)则∵AB中点是M，-8-\n∴x0=2x-4,y0=2y-4,........4分∵x02+y02=4,∴(2x-4)2+(2y-4)2=4,∴(x-2)2+(y-2)2=1,∴点M的轨迹以（2，2）为圆心1为半径的圆...............................10分20．(12分)（1）证明：∵PD=DC=1,PC=,∴PD2+DC2=PC2,∴PD⊥DC,同理PD⊥DA,∵DC∩DA=D,∴PD⊥平面ABCD.....................................................4分(2)证明：由（1）知PD⊥平面ABCD，∵AC平面ABCD，∴PD⊥AC,又∵底面是ABCD正方形，∴BD⊥AC,又∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB,又∵AC平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD；.................................................................8分（3）（文科）解：∵底面是ABCD正方形，∴AD∥BC,又∵BC平面PBC,AD平面PBC，∴AD∥平面PBC，∴点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离.取PC的中点M,连接DM,则∵PD=DC,∴DM⊥PC,∵PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴PD⊥BC,又∵BC⊥CD,PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD,又∵DM平面PCD,∴BC⊥DM,又∵PC∩BC=C,-8-\n∴DM⊥平面PCB,∴DM即点D到平面PBC的距离，又∵△PCD是直角三角形，PC＝，M为PA中点，∴DM=，即点A到平面PBC的距离为...................................................12分（理科）解：设AC、BD相交于点O，连接PO，则由（2）知∴AC⊥平面PDB,∵DO平面PDB,PO平面PDB,∴AC⊥DO且AC⊥PO,∴∠POD就是二面角P－AC－D的平面角.在Rt△PDO中，PD=1,DO=,∴tan∠POD=,∴二面角P－AC－D的正切值为．.......................................12分21.(10分)（1）证明：直线恒过定点P(0,3),∵∴点P(0,3)在圆C:内,∴对,直线与圆总有两个不同的交点；.............................................4分（2）由（1）知，对直线与圆总有两个不同的交点，可设A(x1,y1)、B(x2，y2),则由得，，所以，，∵OA⊥OB,∴，-8-\n∴∴，∴，∴.............................................................................................................10分-8-
