2022—2022学年第一学期高二期中考试数学试题（理科）【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线过点,则此直线的倾斜角是A．B．C．D．2．已知直线和直线,若,则的值为A．B．C．D．3．若直线不平行于平面,且,则下列结论成立的是A．内的所有直线与异面B．内不存在与平行的直线C．内存在唯一的直线与平行D．内的直线与都相交4．下列说法中正确的个数是①圆锥的轴截面是等腰三角形;②用一个平面去截棱锥,得到一个棱锥和一个棱台;③棱台各侧棱的延长线交于一点;④有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．A．B．C．D．5．圆与圆的位置关系为A．相交B．内切C．内含D．相离6．若直线恒过定点,则点关于直线对称的点的坐标为A．B．C．D．7．已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积为-8-\nA．B．C．D．9．若圆与圆相交于两点,且两圆在点处的切线互相垂直,则线段的长度为A．B．C．D．10．已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．11．当曲线与直线有公共点时，实数的取值范围是A．B．C．D．12．已知函数,其中是半径为的圆的一条弦,为原点,为单位圆上的点,设函数的最小值为,当点在单位圆上运动时,的最大值为3,则线段的长度为A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置）13．直线与直线平行，则它们之间的距离为_______．14．直线过点,且不经过第四象限,则直线的斜率的取值范围为_______．15．过球表面上一点引三条长度相等的弦,且两两夹角都是,若,则该球的体积为_______．16．如图，正方体的棱长为,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．-8-\n①当时,为四边形;②当时,为等腰梯形;③当时,与的交点满足;④当时,为五边形;⑤当时,的面积为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知直线（1）求直线和直线交点的坐标;（2）若直线经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数,求直线的一般式方程．18．（本小题12分）如图,在正三棱柱中,已知分别为的中点,点在棱上,且．求证:（1）直线//平面;（2）平面平面．19．（本小题12分）已知圆心为的圆经过点和,且圆心在直线上,（1）求圆心为的圆的标准方程;（2）若点在圆上,求的面积的最大值．20．（本小题12分）-8-\n如图,已知多面体,均垂直于平面,,（1）证明:平面;（2）求平面与平面所成的角的余弦值．21．（本小题12分）如图,在各棱长均为2的三棱柱中,侧面底面（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小;（2）已知点满足,是线段上的一点且满足//平面,请确定点的位置．-8-\n22．（本小题12分）已知圆,（1）若圆与轴相切，求圆的方程;（2）已知,圆与轴相交于两点(点在点的左侧),过点任作一条直线与圆相交于两点,问:是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值,若不存在,请说明理由．-8-\n2022-2022学年第一学期高二期中考试数学参考答案（理科）1-12：CBBCDADBADCB13.14.15.16.①②④17．解：（1）.………4分（2）………6分18.证明：（1）连接.分别为的中点,且,四边形是平行四边形,且.又且,且,四边形是平行四边形,.又平面,平面,直线平面.………6分（2）在正三棱柱中,平面,平面,.又是正三角形,且为的中点,.又平面,平面,,平面,又平面,,又平面,平面,,平面,又平面,平面平面..………12分19.解答：（1）因为线段的中点的坐标为且,所以线段的垂直平分线的方程为,即.由得:,又圆的半径,所以圆的标准方程为:.………6分（2）因为,圆心到直线的距离,所以点到的距离的最大值为,所以的面积的最大值为:...………12分20.（1）证明：以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系,则：.因此由得.由得,所以平面.………5分（2）设平面的一个法向量为,则由-8-\n得.设平面的一个法向量为,则由得.所以,所以平面与平面所成的角的余弦值为．.………12分21.（1）因为侧面底面，作于，所以平面。又，且各棱长都相等，所以………2分故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以4分设平面的法向量为,则由得,设侧棱与平面所成角为,则.………6分（2）因为,而所以,又因为,所以.设,所以,因为平面,为平面的法向量,所以解得,由,得,所以,所以,恰好为点..………12分22解：（1）由得:,由得:,所以圆.………4分（2）令，得，即所以-8-\n假设存在实数，当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，代入得，，设从而因为而因为，所以，即，得．当直线AB与轴垂直时，也成立．故存在，使得..………12分-8-
