2022—2022学年第一学期高二第一次月考数学试题（理科）【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线平面直线，则与是A．相交直线或平行直线B．平行直线C．异面直线D．平行直线或异面直线2．已知圆锥的高为8，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是A．B．C．D．3．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A．若则B．若则C．若则D．若则4．在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则A．B．C．D．5．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A．B．C．D．6．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．C．D．7．在正方体中，是底面的中心，是中点，是线段上的动点，则直线，的位置关系是A．异面且垂直B．平行C．相交D．异面但不垂直8．函数的最大值为9\nA．B．1C．D．9．已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=2,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=1，则直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值为A．B．C．D．10．如图所示的四个正方体图形中，分别为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为A．①④B．②④C．②③D．①②④11．三棱锥中，点分别为的中点，则异面直线所成的角的余弦值是A．B．C．D．12．已知空间四边形中，和都为等腰直角三角形，且二面角的大小为若空间四边形的四个顶点都在一个半径为的球的球面上，则三棱锥的体积为A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置）13．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形,其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积是14．在中，所对的边分别为，且，9\n，则15．已知三棱锥平面，其中，，，均在某个球的球面上，则该球的表面积为16．棱长为1的正方体中，分别是的中点.①在直线上运动时，三棱锥体积不变；②在直线上运动时，始终与平面平行；③平面平面；④连接正方体的任意的两个顶点形成一条直线，其中与棱所在直线异面的有条；其中真命题的编号是.（写出所有正确命题的编号）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；18．中，角A，B，C所对的边分别为．已知.（1）求的值；（2）求的面积.19．如图，已知BC是半圆的直径，A是半圆周上不同于B、C的点，过作AC的垂线交半圆周于F，梯形ACDE中，DEAC，且AC=2DE，平面ACDE平面ABC.求证：（1）平面ABE平面ACDE；9\n（2）平面OFD平面BAE20．如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21．如图，三棱柱中，．（1）求证：；（2）若，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值。9\n22．如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC．（1）证明：SE=2EB；（2）求二面角A-DE-C的大小.9\n2022-2022学年第一学期高二第一次月考数学参考答案（理科）1-12：DDBBCBACABAA13.14.415.16.①②③17．解：⑴连接BC1交B1C与点O，连接OD.∵四边形BB1C1C为矩形，∴点O为BC1的中点.………2分又∵点D为BA的中点∴OD∥AC1∵OD平面CDB1，AC1平面CDB1∴AC1∥平面CDB1………5分（2）∵∴AC⊥BC………7分∵CC1⊥平面ABC,，………8分又CC1∩BC=C∴AC⊥面BB1C1C∵B1C面BB1C1C∴………10分18.解：（Ⅰ）由题意知：，………2分，………4分由正弦定理得：………6分（Ⅱ）由得.,，………9分因此，的面积.………12分19.证明：（1）∵BC是半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点∴AC⊥AB………2分∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC∴AB⊥平面ACDE∵AB⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ACDE．………………………………………………5分（2）如图，设OF∩AC=M，连接DM∵OF⊥AC∴M为AC的中点．∵AC=2DE，DE∥AC∴DE∥AM，DE=AM∴四边形AMDE为平行四边形．∴DM∥AE∵DM⊄平面ABE，AE⊂平面ABE∴DM∥平面ABE………8分∵O为BC中点∴OM为三角形ABC的中位线∴OM∥AB9\n∵OM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE∴OM∥平面ABE………11分∵OM⊂平面OFD，DM⊂平面OFD，OM∩DM=M∴平面OFD∥平面ABE．………12分20解答：（1）证明：∵底面，且底面，∴………1分由，可得………………………2分又，∴平面………………3平面，∴…………………4分,为中点，∴………………5分，∴平面…………………………6分（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.则……7分.……8分设平面的法向量.由得，即……………（1）……………（2）取，则，.…10分，∴直线与平面所成角的正弦值.………12分21.（1）证明：三棱柱中，，又,又又平面(4分)（2）设作于连接,平面平面，又，9\n因==（10分）故当即三棱柱体积取到最大值（12分）22.法一：(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,由此知即为直角三角形，故.又,所以，.作，故与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB所以，SE=2EB………6分(Ⅱ)由知.故为等腰三角形.取中点F,连接,则.连接，则.所以，是二面角的平面角.连接AG,AG=,,9\n,所以，二面角的大小为120°.………12分解法二：以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（Ⅰ）设平面SBC的法向量为=(a,b,c)由，得故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，则b=c,c=1,=(1,1,1)又设，则设平面CDE的法向量=(x,y,z)由,得，故.令，则.由平面DEC⊥平面SBC得⊥,故SE=2EB………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，取DE的中点F，则，故，由此得又，故，由此得，向量与的夹角等于二面角的平面角于是所以，二面角的大小为………12分9
