2022-2022学年山西省忻州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分）1．直线x+y﹣1=0的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．在平面直角坐标系中，点（0，2）与点（4，0）关于直线l对称，则直线l的方程为()A．x+2y﹣4=0B．x﹣2y=0C．2x﹣y﹣3=0D．2x﹣y+3=04．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥n，n⊂α，则m∥α；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．其中正确命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为4，则输出的结果是()A．1B．C．D．6．直线kx﹣y+k=0与圆x2+y2﹣2x=0有公共点，则实数k的取值范围是()A．B．C．D．-19-\n7．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论错误的是()A．AC∥平面A1BC1B．BC1⊥平面A1B1CDC．AD1⊥B1CD．异面直线CD1与BC1所成的角是45°8．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值()A．2B．﹣2C．或﹣D．2或﹣29．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是()A．B．C．D．210．过点M（1，2）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是()A．x=1B．y=1C．x﹣y+1=0D．x﹣2y+3=011．已知函数的最小正周期为π．对于函数f（x），下列说法正确的是()A．在上是增函数B．图象关于直线对称C．图象关于点对称D．把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称12．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，底面△ABC是边长为3的正三角形，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为()A．19πB．28πC．43πD．76π-19-\n二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．点P（x，y）是圆（x+3）2+（y+4）2=1的任一点，则的最小值为__________．14．命题p：∃x∈[0，π]，使成立，则实数a的取值范围为__________．15．在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为__________．16．圆x2+y2=16的切线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则|AB|最小值为__________．三.解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分）17．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为，若S3=a4+2，且a1，a3，a13成等比数列（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生甲成绩的中位数和学生乙成绩的众数；（2）求学生乙成绩的平均数和方差；（3）从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若-19-\n（1）求角A；（2）若4（b+c）=3bc，，求△ABC的面积S．21．已知函数f（x）=x|x+m|﹣4，m∈R（1）若g（x）=f（x）+4为奇函数，求实数m的值；（2）当m=﹣3时，求函数f（x）在x∈[2，4]上的值域；（3）若f（x）＜0对x∈（0，1]恒成立，求实数m的取值范围．22．圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上；②与x轴相切；③被直线y=x+2截得的线段长为（1）求圆C的方程；（2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时的值．附加题（每小题5分，共15分）23．直线y=x+m与圆x2+y2=4交于不同的两点M、N，且，其中O为坐标原点，则实数m的取值范围是__________．24．已知矩形ABCD顶点都在半径为R的球O的表面上，且，棱锥O﹣ABCD的体积为，则R=__________．25．函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是()A．B．C．D．-19-\n2022-2022学年山西省忻州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分）1．直线x+y﹣1=0的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．直线x+y﹣1=0化为．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2．在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由只能得到角A是锐角，无法得到△ABC为锐角三角形；但△ABC为锐角三角形时，角A一定是锐角，可得．即可判断出．【解答】解：由只能得到角A是锐角，无法得到△ABC为锐角三角形；但△ABC为锐角三角形时，角A一定是锐角，故．∴“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量的夹角与三角形的形状之间的关系，考查了推理能力，属于基础题．3．在平面直角坐标系中，点（0，2）与点（4，0）关于直线l对称，则直线l的方程为()A．x+2y﹣4=0B．x﹣2y=0C．2x﹣y﹣3=0D．2x﹣y+3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由条件利用两条直线垂直的性质求出直线l的斜率，再用点斜式求直线l的方程．-19-\n【解答】解：根据点（0，2）与点（4，0）关于直线l对称，可得直线l的斜率为=2，且直线l经过点（0，2）与点（4，0）构成的线段的中点（2，1），故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0，故选：C．【点评】本题主要考查求线段的中垂线方程，用点斜式求直线的方程，属于基础题．4．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥n，n⊂α，则m∥α；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．其中正确命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在①中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在②中，α与β相交或平行；在③中，m∥α或m⊂α；在④中，由直线与平面平行的性质定理得m∥n．【解答】解：由两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，知：①若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故①正确；②若m⊥α，m⊥β，则α与β相交或平行，故②错误；③若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故③错误；④若m∥α，α∩β=n，则由直线与平面平行的性质定理得m∥n，故④正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为4，则输出的结果是()A．1B．C．D．-19-\n【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】根据程序框图依次计算框图运行的x、y值，直到满足条件|y﹣x|＜1终止运行，输出y值．【解答】解：由程序框图得第一次运行y=×4﹣1=1，第二次运行x=1，y=×1﹣1=﹣，第三次运行x=﹣，y=×（﹣）﹣1=﹣，此时|y﹣x|=，满足条件|y﹣x|＜1终止运行，输出﹣．故选：C．【点评】本题是直到型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂框图的运行流程，属于基础题．6．直线kx﹣y+k=0与圆x2+y2﹣2x=0有公共点，则实数k的取值范围是()A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意利用点到直线的距离小于等于半径，求出k的范围即可．【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为（1，0），半径为1，因为直线kx﹣y+k=0与圆x2+y2﹣2x=0有公共点，所以≤1，解得﹣≤k≤．故选：A．【点评】本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．7．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论错误的是()A．AC∥平面A1BC1B．BC1⊥平面A1B1CDC．AD1⊥B1CD．异面直线CD1与BC1所成的角是45°【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性．【解答】解：由正方体的性质得，AC∥A1C1，所以，AC∥平面A1BC1故A正确．由正方体的性质得由三垂线定理知，CD⊥BC1，BC1⊥B1D，所以BC1⊥平面A1B1CD，故B正确．-19-\n由正方体的性质得AD1⊥B1C，故C成立．异面直线CD1与BC1所成的角就是异面直线AD1与CD1所成角，故∠AD1C为所求，三角形AD1C是正三角形，∠BCB1=60°故D不正确故选：D．【点评】本题考查线面平行的判定，利用三垂线定理证明2条直线垂直，线面垂直的判定，求异面直线成的角．8．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值()A．2B．﹣2C．或﹣D．2或﹣2【考点】直线和圆的方程的应用；向量的模．【专题】计算题；转化思想．【分析】先由向量关系推出OA⊥OB，结合直线方程推出A、B两点在坐标轴上，然后求得a的值．【解答】解：由向量满足得⊥，因为直线x+y=a的斜率是﹣1，所以A、B两点在坐标轴上并且在圆上；所以（0，2）和（0，﹣2）点都适合直线的方程，a=±2；故选D．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识，是基础题．9．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是()A．B．C．D．2【考点】简单空间图形的三视图；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．-19-\n【分析】由已知的中三视图画出该几何体的直观图，并利用勾股定理求出各棱的长度，比较后，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体的直观图如下图所示：且VA⊥平面ABC，BD⊥CD，VA=AC=AD=1，BD=2则AB=，BC=2，VC=，VB=四面体的六条棱长中，长度最大的是BC=2，故选D【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，空间两点之间距离的计算，其中由已知的中三视图画出该几何体的直观图，是解答的关键．10．过点M（1，2）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是()A．x=1B．y=1C．x﹣y+1=0D．x﹣2y+3=0【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直，求出直线的斜率即可．【解答】解：由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直，设圆心为O，则O（2，0），∴KOM==﹣2．∴直线l的斜率k=，∴l的方程为y﹣2=（x﹣1）．即x﹣2y+3=0；故选D【点评】本题主要考查了直线的一般式方程，以及直线和圆的方程的应用，属于基础题．11．已知函数的最小正周期为π．对于函数f（x），下列说法正确的是()A．在上是增函数B．图象关于直线对称-19-\nC．图象关于点对称D．把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称【考点】二倍角的余弦；终边相同的角；二倍角的正弦．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（），由周期公式可求ω，从而可求函数解析式为f（x）=2sin（2x+）．利用正弦函数的平移变换规律即可得解D选项正确．【解答】解：∵=sinωx+cosωx=2sin（），又∵最小正周期为π，即，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）．∴把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，所得函数解析式为：y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x．由余弦函数的图象和性质可得此函数图象关于y轴对称．D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了正弦函数的平移变换规律，属于基本知识的考查．12．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，底面△ABC是边长为3的正三角形，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为()A．19πB．28πC．43πD．76π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；转化思想；分析法；空间位置关系与距离．【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积．【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，SA⊥平面ABC，SA=4，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，∵△ABC是边长为3的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=2，故球的半径R==．三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为：4π×7=28π．故选：B．-19-\n【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．点P（x，y）是圆（x+3）2+（y+4）2=1的任一点，则的最小值为4．【考点】点与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；直线与圆．【分析】圆（x+3）2+（y+4）2=1的圆心为（﹣3，﹣4），圆的半径为1，求出圆心到原点的距离为5，即可求出的最小值．【解答】解：圆（x+3）2+（y+4）2=1的圆心为（﹣3，﹣4），圆的半径为1，∴圆心到原点的距离为5，∴的最小值为5﹣1=4．故答案为：4．【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查距离公式的运用，比较基础．14．命题p：∃x∈[0，π]，使成立，则实数a的取值范围为．【考点】特称命题．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】命题p：∃x∈[0，π]，使成立，则a大于x∈[0，π]时，的最小值，进而得到答案．【解答】解：若命题p：∃x∈[0，π]，使成立，则a大于x∈[0，π]时，的最小值，当于x∈[0，π]时，∈[，]，故x∈[0，π]时，≥sin=，故，故答案为：【点评】本题考查的知识点是特称命题，三角函数的最值，难度中档．15．在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】作图题；运动思想；等体积法；空间位置关系与距离．-19-\n【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可得到答案．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为2，高为4的圆柱，挖去一个相同底面高为2的倒圆锥，几何体的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键，是中档题．16．圆x2+y2=16的切线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则|AB|最小值为8．【考点】圆的切线方程．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】设直线的方程为bx+ay﹣ab=0，由直线和圆相切可得a2b2=16（a2+b2），由基本不等式可得的最小值，即得答案．【解答】解：由题意设直线的方程为：+=1，即bx+ay﹣ab=0，∵圆心（0，0）到的距离为半径4，∴=4，平方整理可得a2b2=16（a2+b2），由基本不等式可得16（a2+b2）=a2b2≤（）2，∴解不等式可得|AB|=≥8，当且仅当a=b=4时等号成立，故答案为：8．【点评】本题考查圆的切线，涉及点到直线的距离公式和基本不等式求最值，属中档题．三.解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分）17．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为，若S3=a4+2，且a1，a3，a13成等比数列（1）求{an}的通项公式；-19-\n（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．【考点】数列的求和．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的性质，解方程可得d=2，a1=1，进而得到所求通项公式；（2）求得，再由裂项相消求和即可得到所求．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S3=a4+2得：3a1+3d=a1+3d+2∴a1=1，又∵a1，a3，a13成等比数列，∴，即，解得：d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2），∴=．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；（II）过P作PO⊥AD交AD于O，根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO⊥平面ABCD，从而PO为四棱锥P﹣ABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△ABD中，由于AD=4，BD=8，，所以AD2+BD2=AB2．故AD⊥BD．-19-\n又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P﹣ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为．故．【点评】本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及棱锥的体积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．19．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生甲成绩的中位数和学生乙成绩的众数；（2）求学生乙成绩的平均数和方差；（3）从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；概率与统计．【分析】（1）利用所给数据，即可画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生甲成绩的中位数和学生乙成绩的众数；（2）根据乙的数据，求学生乙成绩的平均数和方差；（3）从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，基本事件共15个，至少有一次超过90分的基本事件，共9个，即可求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率．【解答】解：（1）茎叶图如下：-19-\n…学生甲成绩中位数为83，学生乙成绩众数为8；…（2）=85，…∴=[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41；…（3）甲同学超过80分的成绩有828195889384，任取两次成绩，所有基本事件为：（82，81），（82，95），（82，88），（82，93），（82，84），（81，95），（81，88），（81，93），（81，84），（95，88），（95，93），（95，84），（88，93），（88，84），（93，84）共15个．…其中至少有一次超过90分的基本事件为：（82，95）（82，93）（81，95）（81，93）（95，88），（95，93），（95，84），（88，93）（93，84）共9个．…∴这两次成绩中至少有一次超过90分的概率为．…【点评】本题考查茎叶图，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（1）求角A；（2）若4（b+c）=3bc，，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：，结合三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得，结合A为内角，即可求A的值．（2）由余弦定理及已知可解得：b+c=6，从而可求bc=8，根据三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理得：…又∵sinB=sin（A+C）∴即…又∵sinC≠0∴又∵A是内角-19-\n∴A=60°…（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc…∴（b+c）2﹣4（b+c）=12得：b+c=6∴bc=8…∴S=…【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题．21．已知函数f（x）=x|x+m|﹣4，m∈R（1）若g（x）=f（x）+4为奇函数，求实数m的值；（2）当m=﹣3时，求函数f（x）在x∈[2，4]上的值域；（3）若f（x）＜0对x∈（0，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）化简g（x）=f（x）+4=x|x+m|，从而可得﹣x|﹣x+m|=﹣x|x+m|，化简可得mx=0对x∈R恒成立，从而解得；（2）当m=﹣3时，化简，从而利用分段函数的求值域；（3）化简可得x|x+m|﹣4＜0，从而可得，令，则h（x）在（0，1]上是增函数，再令，则t（x）在（0，1]上是减函数，从而求最值，从而解得．【解答】解：（1）g（x）=f（x）+4=x|x+m|，∵函数g（x）为奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x）∴﹣x|﹣x+m|=﹣x|x+m|，即x（|x+m|﹣|x﹣m|）=0对x∈R恒成立，∴|x+m|﹣|x﹣m|=0对x∈R恒成立，即（x+m）2=（x﹣m）2对x∈R恒成立，即mx=0对x∈R恒成立，∴m=0；（2）当m=﹣3时，，当x∈[3，4]时，y=x2﹣3x﹣4在[3，4]上为增函数，∴y∈[﹣4，0]；当x∈[2，3）时，y=﹣x2+3x﹣4在[2，3）上为减函数，∴y∈（﹣4，﹣2]；∴函数f（x）在x∈[2，4]上的值域[﹣4，0]∪（﹣4，﹣2]=[﹣4，0]；（3）f（x）＜0即为x|x+m|﹣4＜0，-19-\n∵x∈（0，1]，∴，即，即对x∈（0，1]恒成立，令，则h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）max=h（1）=﹣5，∴m＞﹣5；再令，则t（x）在（0，1]上是减函数，∴t（x）min=t（1）=3，∴m＜3，综上，实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题及最值问题．22．圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上；②与x轴相切；③被直线y=x+2截得的线段长为（1）求圆C的方程；（2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时的值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；向量法；直线与圆．【分析】（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r，利用条件建立方程组，即可求圆C的方程；（2）四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，从而可求的值．【解答】解：（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r．则有，解得…∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4…（2）由切线的性质知：四边形PECF的面积S=|PE|•r=r=∴四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，…即为圆心C（1，2）到直线x+y+3=0的距离d=3．∴|PC|最小为∴四边形PEMF的面积S的最小值为…此时||=||=，设∠CPE=∠CPF=α，则…∴=||2cos2α=||2（1﹣2sin2α）=…-19-\n【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．附加题（每小题5分，共15分）23．直线y=x+m与圆x2+y2=4交于不同的两点M、N，且，其中O为坐标原点，则实数m的取值范围是．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；向量法；直线与圆．【分析】MN的中点为A，则2=+，利用||≥|+|，可得||≥2||，从而可得||≤1，利用点到直线的距离公式，可得≤1，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：设MN的中点为A，则OA⊥MN，并且2=+，∵||≥|+|，∴||≥2||，即为2≥2||，解得||≤1，∴O到直线MN的距离≤1，解得﹣≤m．故答案为：．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离问题，关键是通过训练的运算得到m的不等式解之．24．已知矩形ABCD顶点都在半径为R的球O的表面上，且，棱锥O﹣ABCD的体积为，则R=3．【考点】球的体积和表面积．【专题】数形结合；分析法；立体几何．【分析】根据几何性质得出2r==，求解r，利用r2+d2=R2求解即可．【解答】解；∵矩形ABCD顶点都在半径为R的球O的表面上∴2r==，r=∵棱锥O﹣ABCD的体积为，设其高为d，∴3=3×d，d=，∴R2=6+3=9，∴R=3，故答案为：3．【点评】本题考察了球的几何性质，三棱锥的体积公式，属于简单的计算题，难度很小．25．函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是()A．B．C．D．-19-\n【考点】等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．假设存在，则可计算出公比的范围，从而可下结论．【解答】解：根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．鉴于此，从原点作该半圆的切线，切线长为：，设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是a和b，则b=aq2，且ab=（aq）2=3，所以aq=；所以q=，当，则；当时，考查四个选项，只有B选项不符合上述范围故选B．【点评】本题的考点是等比关系的确定，主要课程等比数列的定义，等比中项及切割线定理，属于基础题．-19-
