2022届高三入学调研考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C．2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】集合，，∴，故选C．3．函数的图象是（）15\nA．B．C．D．【答案】B【解析】由题得，所以函数是偶函数，所以图像关于y轴对称，所以排除A，C．由题得，所以D错误，故答案为B．4．已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，则向量在向量方向上的投影为：．故选D．5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，可得，解得，则双曲线的标准方程是．故选D．6．在中，，，，则角等于（）15\nA．或B．C．D．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理得：．则，又∵，，∴或．故选A．7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】输入，，，，；，，；，，；，结束运算，输出，故选C．8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（）A．B．C．D．15\n【答案】C【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为．故答案为C．9．在长方体中，，与所成的角为，则（）A．B．3C．D．【答案】D【解析】如图所示，连接，∵，∴是异面直线与所成的角，即，在中，，在中，有，即．故选D．10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数，15\n的图象向左平移个单位，得的图象，∴函数；又在上为增函数，∴，即，解得，所以的最大值为2．故选B．11．函数对任意的实数都有，若的图像关于对称，且，则（）A．0B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为的图像关于对称，所以的图像关于对称，即为偶函数，因为，所以，所以，，因此，，，故选B．12．设，分别为椭圆的右焦点和上顶点，为坐标原点，是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】15\n根据，由平面向量加法法则，则有为平行四边形的对角线，故，联立椭圆、直线方程，可得，∵，则，，可得，∴，故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线在点处的切线方程为__________．【答案】．【解析】的导数，则在处的切线斜率为，切点为，则在处的切线方程为，即为．故答案为．14．若变量，满足约束条件，则的取值范围是__________．15\n【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；由得，即直线的截距最大，也最大；平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，即；经过点时，截距最小，由，得，即，此时最小，为；即的取值范围是，故答案为．15．已知，，则__________．【答案】【解析】∵，，∴，则，解得．∴．故答案为．15\n16．四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．【答案】【解析】四棱锥中，可得：；平面平面平面，过作于，则平面，设，故，所以，，在中，，则有，，所以的外接圆半径，将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径，，所以．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设为数列的前项和，已知，．（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？【答案】（1）见解析；（2）见解析．15\n【解析】（1）证明：∵，，∴，∴，∴，，∴是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，，∴，∴，∴∴，即，，成等差数列．18．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：（1）可用线性回归模型拟合与之间的关系吗？如果能，请求出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）公司决定再采购，两款车扩大市场，，两款车各100辆的资料如表：平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？参考数据：，，，．15\n参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）∵，，，．∴，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，∴，∴回归直线方程为．（2）用频率估计概率，款车的利润的分布列为：∴（元）．款车的利润的分布列为：15\n∴（元）．以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择款车型．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，可得，，，，由为棱的中点，得．向量，，故，．（2），，，，由点在棱上，设，，故，由，得，因此，，即，15\n设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则，所以二面角的余弦值为．20．（12分）已知的直角顶点在轴上，点，为斜边的中点，且平行于轴．（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为．以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心为，，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设点的坐标为，则的中点的坐标为，点的坐标为．，，由，得，即，经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去．所以轨迹的方程为．（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，点、的坐标分别为、，圆心的坐标为．15\n由，可得，∴，．∴，∴．∴圆的半径．过圆心作于点，则．在中，，当，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，所以的最大值为．21．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：当时，函数．则，令，则，令，得．当时，，当时，∴在单调递增，∴．（2）解：在有两个零点方程在有两个根，在有两个根，即函数与的图像在有两个交点．，当时，，在递增15\n当时，，在递增所以最小值为，当时，，当时，，∴在有两个零点时，的取值范围是．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点．若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．【答案】（1）见解析；（2）8．【解析】（1）；曲线的直角坐标方程为；（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．∴，直线的倾斜角．∴直线的参数方程为．代入，得．设，两点对应的参数为，，则，15\n∴．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）求不等式的解集；（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，当时，不等式可化为，解得，所以；当，不等式可化为，解得，无解；当时，不等式可化为，解得，所以综上所述，．（2）因为，且的解集不是空集，所以，即的取值范围是．15
