2022届高三入学调研考试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C．2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】集合，，∴，故选C．3．函数的图象是（）13\nA．B．C．D．【答案】B【解析】由题得，所以函数是偶函数，所以图像关于y轴对称，所以排除A，C．由题得，所以D错误，故答案为B．4．已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，则向量在向量方向上的投影为：．故选D．5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，可得，解得，则双曲线的标准方程是．故选D．6．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（）13\nA．B．C．D．【答案】C【解析】从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，∴甲被选中的概率为．故选C．7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】输入，，，，；，，；，，；，结束运算，输出，故选C．8．在中，，，，则角等于（）A．或B．C．D．【答案】A13\n【解析】∵，，，∴由正弦定理得：．则，又∵，，∴或．故选A．9．在长方体中，，与所成的角为，则（）A．B．3C．D．【答案】D【解析】如图所示，连接，∵，∴是异面直线与所成的角，即，在中，，在中，有，即．故选D．10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数，13\n的图象向左平移个单位，得的图象，∴函数；又在上为增函数，∴，即，解得，所以的最大值为2．故选B．11．函数对任意的实数都有，若的图像关于对称，且，则（）A．0B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为的图像关于对称，所以的图像关于对称，即为偶函数，因为，所以，所以，，因此，，，故选B．12．双曲线的半焦距为，，分别为的左右焦点，若上存在一点，使得，则离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，，∴．故选D．13\n二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线在点处的切线方程为__________．【答案】．【解析】的导数，则在处的切线斜率为，切点为，则在处的切线方程为，即为．故答案为．14．若变量，满足约束条件，则的取值范围是__________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；由得，即直线的截距最大，也最大；平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，13\n即；经过点时，截距最小，由，得，即，此时最小，为；即的取值范围是，故答案为．15．已知，，则__________．【答案】【解析】∵，，∴，则，解得．∴．故答案为．16．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是，，，则此直三棱柱的高是__________．【答案】【解析】因为球的表面积是，所以，∴，设，则，∴，设的外接圆的半径为，则，∴．由题得，∴，所以此直三棱柱的高是．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设为数列的前项和，已知，．13\n（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵，，∴，∴，∴，，∴是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，，∴，∴，∴∴，即，，成等差数列．18．（12分）某商品要了解年广告费（单位：万元）对年利润（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年利润数据作了初步整理，得到下面的表格：广告费2345年利润26394954（1）用广告费作解释变量，年利润作预报变量，建立关于的回归直线方程；（2）根据（1）的结果预报广告费用为6万元时的年利润．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】（1）；（2）时，万元．13\n【解析】（1），，由表中数据与附中公式，得，．所以回归方程为．（2）回归方程为．时，万元．∴广告费用为6万元时的年利润为万元．19．（12分）在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，，且，，为的中点，为上一点，．（1）若三棱锥的体积为，求的长；（2）证明：平面．【答案】（1）．（2）见解析．【解析】（1）设，∵，，三棱锥的高为，∴，解得，即．（2）如图，连接交于，连接．13\n∵为的中点，∴，又，∴，而平面，平面，∴平面．20．（12分）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，当直线过点时，以为直径的圆与直线相切．（1）求抛物线的方程；（2）与平行的直线交抛物线于，两点，若平行线，之间的距离为，且的面积是面积的倍，求和的方程．【答案】（1）；（2），或者，．【解析】（1）设直线方程为代入得，，设，，∴，，，当时，，的中点为，依题意可知，解之得，抛物线方程为．（2）到直线的距离为，13\n．因为平行线，之间的距离为，则的直线方程为，．依题意可知，即，化简得，∴代入，∴，或者，．21．（12分）已知函数，．（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）的定义域为，当时，，，1—0+单调递减极小值单调递增所以在处取得极小值1．函数没有极大值．（2），，①当时，即时，在上，在上，13\n所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，在上，所以函数在上单调递增．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点．若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．【答案】（1）见解析；（2）8．【解析】（1）；曲线的直角坐标方程为；（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．∴，直线的倾斜角．∴直线的参数方程为．代入，得．设，两点对应的参数为，，则，13\n∴．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，当时，不等式可化为，解得，所以；当，不等式可化为，解得，无解；当时，不等式可化为，解得，所以综上所述，．（2）因为，且的解集不是空集，所以，即的取值范围是．13
