山东省聊城市某重点高中2022届高三下学期高考模拟试题（四）数学（文理）试题第I卷一．选择题（60分）1．设等比数列的前项和为，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2．已知幂函数，当时，恒有，则的取值范围是A．B．C．D．3．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：①若则②若，，则③若，则④若，则其中真命题的序号是A．①④B．②③C．②④D．①③4．直线与不等式组表示平面区域的公共点有A．0个B．1个C．2个D．无数个5．已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．设是长为2的线段，点集所表示图形的面积为A.B.C.D.6.为虚数单位，则＝（）(A)(B)(C)(D)7．已知，则=（）(A)(B)(C)(D)-11-\n8．若，是两个非零向量，则“”是“”的（）（A）充分不必要条件（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件9.（文）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是()(A) (B)(C)(D)(理)为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是90110周长(cm)频率/组距1001201300.010.020.0480第9题图A．30B．60C．70D．8010．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用(万元)4235销售额(万元)49263954根据上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为()(A)万元(B)万元(C)万元(D)万元11．（文）函数的一部分图象如图所示，则（）（A）（B）（C）（D）-11-\nOyxPBA第11题图（理）将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法：①的值域为；②是周期函数；③；④.其中正确的说法个数为:A.0B.C.D.12.已知，,若为满足的一随机整数，则是直角三角形的概率为（）（A） （B） （C） （D）第II卷（非选择题）二、填空题13.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0.02,前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为.14.观察下列各式：则…，则的末两位数字为.15.设等差数列的前项和为,若,则.16.（文）设函数,若，则实数的取值范围是.-11-\n（理）(坐标系与参数方程选做题)已知圆的参数方程为，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标为.三．解答题17.（本题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.18.（本题满分12分）如图，、是单位圆上的动点，是单位圆与轴的正半轴的交点，且，记，，的面积为.（Ⅰ）若，试求的最大值以及此时的值.（Ⅱ）当点坐标为时，求的值.19.（本题满分12分）已知公差不为零的等差数列的前项和，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和.-11-\n20．(本题满分14分)已知函数，（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．21.（文）(本题满分13分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）与圆相切的直线交抛物线于不同的两点若抛物线上一点满足，求的取值范围.（理）设函数，记的导函数，的导函数，的导函数，…，的导函数，.（1）求；（2）用n表示；（3）设，是否存在使最大？证明你的结论.-11-\n数学（文理）答案一．选择题1.C2.B3.D4.B5.D6.A7.C8.B9.D（理C）10.B11.D(理C)12.A二．填空题13.14. 15. 16.（文）.（理）三．解答题17．（Ⅰ）证明：平面平面，,平面平面，平面，∵AF在平面内，∴，…………… 3分又为圆的直径，∴，∴平面.…………………………6分（Ⅱ）解：由（1）知即，∴三棱锥的高是，∴,……… 8分连结、，可知∴为正三角形，∴正的高是，………10分∴，……12分18.【解】（Ⅰ）………………………………2分则，…………4分-11-\n，故时，…………………6分（Ⅱ）依题由余弦定理得：……12分19.解(Ⅰ)由已知得：因为所以所以，所以所以┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分(Ⅱ)(ⅰ)当为奇数时(ⅱ)当为偶数时所以┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分20．解：（I）当时，，，…………………2分-11-\n曲线在点处的切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为．…………6分（II）解1：当，即时，，在上为增函数，故，所以，，这与矛盾………8分当，即时，若，；若，，所以时，取最小值，因此有，即，解得，这与矛盾；………………12分当即时，，在上为减函数，所以，所以，解得，这符合．综上所述，的取值范围为．………………14分解2：有已知得：，………………8分-11-\n设，，……………10分，，所以在上是减函数．……………12分，故的取值范围为…………………………………………14分21.（文）解(Ⅰ)设抛物线方程为，由已知得：所以所以抛物线的标准方程为┈┈┈┈┈4分(Ⅱ)因为直线与圆相切，所以┈┈┈┈┈6分把直线方程代入抛物线方程并整理得：由得或┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分设，则由得┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分因为点在抛物线上，所以，-11-\n因为或，所以或所以的取值范围为┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13分21.（理）⑴易得,,……1分……2分,所以……3分⑵不失一般性，设函数的导函数为，其中，常数，.对求导得：……4分故由得：①，②，……5分③由①得：，……6分代入②得：，即，其中故得：.……7分代入③得：，即，其中.故得：，……8分-11-\n因此.将代入得：，其中.……9分（2）由（1）知，当时，，，故当最大时，为奇数.……10分当时，……11分又，，，因此数列是递减数列……12分又，，……13分故当或时，取最大值.……14分-11-
