山东省聊城市某重点高中2022届高三下学期高考模拟试题（三）数学（文理）试题考试时间120分钟；满分150分第I卷（选择题）一．选择题（共60分）1.（理）已知是上的减函数，那么的取值范围是A．B．C．D．（文）设函数定义在实数集R上，，且当时=，则有A．B．C．D．2.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．②③C．①④D．③④3.已知是两个正数的等比中项，则圆锥曲线的离心率为A．或B．C．D．或4.某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是-13-\nA．（1），（3）B．（1），（3），（4）C．（1），（2），（3）D．（1），（2），（3），（4）5.（文）设,则的值为（ ）A．1B．0C．D．（理）定义运算,如.已知,,则()....6.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（）A．2B．3C．4D．5-13-\n7.我们把具有以下性质的函数称为“好函数”：对于在定义域内的任意三个数，若这三个数能作为三角形的三边长，则也能作为三角形的三边长.现有如下一些函数：①②③，④，.其中是“好函数”的序号有（）A.①②B.①②③C.②③④D.①③④8.设记不超过的最大整数为令则（）是等差数列但不是等比数列是等比数列但不是等差数列既是等差数列又是等比数列既不是等差数列也不是等比数列9.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数①②③④其中是一阶整点函数的是(）A．①②③④B．①③④C．④D．①④10.给出下列命题：①已知椭圆两焦点，则椭圆上存在六个不同点，使得△为直角三角形；②已知直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于两点，则的最小值为2；③若过双曲线的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为-13-\n为坐标原点，则；④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20％和18％，两地同时下雨的概率为12％，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60％.其中正确命题的序号是()A．①③④B．①②③C．③④D．①②④11.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意∈[a，b]，都有成立，则称和在[a，b]上是“紧密函数”.若与在[1，2]上是“紧密函数”，则m的取值范围是（）。A．[0，1]B．[2，3]C．[1，2]D．[1，3]12.下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若函数f（x）＝ax2＋bx＋2与x轴没有交点，则b2－8a＜0且a＞0（3）y=x2一2｜x｜＋3的递增区间为：[1.＋)（4）y＝1－x和y＝表示相等函数．其中正确命题的个数是（ 〕A、0 B、1 C、2 D、3-13-\n第II卷（非选择题）二．填空题13.已知方程的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是.14.已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k,对定义域中的任意，等式＝＋恒成立．现有两个函数，，则函数、与集合的关系为 15.四位同学在研究函数时，分别给出下面四个结论：①函数的图象关于轴对称；②函数的值域为(－1,1)；③若则一定有；④若规定,，则对任意恒成立．你认为上述四个结论中正确的有16.（理）平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，规定向量与夹角θ的余弦为cosθ＝.已知n维向量，，当＝(1,1,1,1，…，1)，＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于______________（文）下列5个判断：①若在上增函数，则；②函数只有两个零点；-13-\n③函数的值域是；④函数的最小值是1；⑤在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称。其中正确命题的序号是。三．解答题17．（本小题满分14分）已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，xk都有成立；（3）求证：．18.如图,直角梯形ABCD中,,AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,．（1）求证:平面PCD⊥平面;（2）侧棱上是否存在点E,使得平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由．（3）（理）求二面角的余弦值．19.请你设计一个LED霓虹灯灯箱。现有一批LED霓虹灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）用规格长宽高=外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）?-13-\n（2）若材料成本2元/cm2,霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S（cm2）为准，售价为2.4元/cm2.试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？20.（理）已知数列满足，且（n2且n∈N*）．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项之和，求,并证明：．（文）已知递增的等比数列满足是的等差中项。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若是数列的前项和，求21.在平面直角坐标系中，已知向量，，若．（1）求动点的轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；（2）当时，已知、，点P是轨迹T在第一象限的一点，且满足，若点Q是轨迹T上不同于点P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点，若存在，求出圆G的方程，若不存在，请说明理由．22.边长为2的正方体中,P是棱CC1上任一点,（1）是否存在满足条件的实数m,使平面面?若存在,求出m的值;否则,请说明理由．（2）（理）试确定直线AP与平面D1BP所成的角正弦值关于m的函数,并求的值．（文）是否存在实数m,使得三棱锥和四棱锥的体积相等?若存在,求出m的值;否则,请说明理由．-13-\n-13-\n数学（文理）试卷答案一．选择题1.（理）B（文）C由可知函数关于直线对称，所以，且当时，函数单调递增，所以，即，即选C.2.B画图可知选B.①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②=，在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于，即x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B．3.D4.D5.（文）B（理）A6.C第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，，因此输出的，故选择C。7.B8.B9.D10.A11.A12.A二．填空题13.14.15.②③.④16.（理）（文）-13-\n三．解答题17.解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有．（*），．（**）由（*）、（**）两式，解得，．……………………………2分由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，．…………………5分因此，实数的取值范围是．………………………………………6分（2）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为．………………………………………10分-13-\n（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，即．………………………………………………………11分令，得，化简得，………………………………13分．………………………14分18.（理）（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA．又△ABC的面积等于△ADC面积的,∴．在底面中，因为，，所以，所以．又因为，所以平面．而CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面（理4分，文7分）（2）在上存在中点，使得平面，证明如下：设的中点是，连结BE，EF，FC，则，且．由已知，所以．又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（理8分，文14分）（理）（3）设为中点，连结，则．又因为平面平面，所以平面．过作于，连结，由三垂线定理可知．所以是二面角的平面角．设，则,．在中，，所以．所以，．即二面角的余弦值为．（14分）19.（1），所以，，当时，V递增，当时，V递减，所以，当x=20时，V最大.此时正四棱柱形灯箱底面边长，高为.用规格为外包装盒来装灯箱，彼此间隔空隙至多0.5cm，至少装下=125个灯箱.答：至少装下125个灯箱.（2）（）,所以x=15cm时侧面积最大，最大值是-13-\n（cm2）此时获利最大，最大利润为（元）.答：每个灯箱最大利润720元.20.（理）（1）且n∈N*），,即(,且N*),（3分）所以，数列是等差数列,公差,首项，（5分）于是．（7分）（2）①②（9分）①②得（12分）（14分）（文）21.（1）∵，∴，得，即．（1分）当时，方程表示两条与轴平行的直线；（2分）当时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；（3分）当0＜＜1时，方程表示焦点在轴上的椭圆；（4分）当＞1时，方程表示焦点在轴上的椭圆；（5分）当＜0时，方程表示焦点在轴上的双曲线．（6分）（2）由（1）知，轨迹T是椭圆，则、为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得,联立解得，，又，有,∴，∴P的纵坐标为1，把代入得或（舍去），∴．（9分）设存在满足条件的圆，则，设，则，,∴，即,∴．又，∴,∴或．（12分）所以圆G的方程：或．（13分）-13-\n22.（1）存在满足条件的实数,使平面面,证明如下:连接AC、AC1,设对角线,则H是AC1中点,连接PH,则PH是△的中位线,则PH∥AC,∵AC⊥BD,AC⊥BB1,故AC⊥平面∴PH⊥平面,而PH平面,∴平面面;（5分）（2）（理）在线段AA1上取一点G,使得A1G=m,连接D1G,BG,则易证D1,G,B,P四点共面．设点A到平面D1BP的距离为h,则由可得（7分）在△BGD1中,,,,则则,则（10分）而故．设AP与平面D1BP所成的角为,则,故（13分）（文）由条件易得,（9分）．（10分）由可得可得,故存在实数使得三棱锥和四棱锥的体积相等（13分）-13-
