2022-2022学年山东省潍坊市高密三中高一（下）3月月考数学试卷（创新班）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若α是第四象限的角，则π﹣α是()A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．和B．和C．和D．和3．已知向量=（2，4），向量=（x，3），且，则x的值是()A．6B．﹣6C．9D．124．把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为()A．y=cos2xB．y=﹣sin2xC．D．5．若sinθ+cosθ=﹣1，则θ是第几象限角()19\nA．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角6．已知向量、满足，，，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D7．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是()A．B．C．D．8．函数y=的其中一个对称中心为()A．B．C．（0，0）D．9．已知如图示是函数．的图象，那么()A．19\nB．C．D．10．向量，，若与的夹角为钝角，则λ的范围()A．B．（2，+∞）C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．记cos（﹣70°）=k，那么tan110°等于__________．12．已知向量，满足，，，则=__________．13．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为__________．14．已知向量=（6，2），=（﹣4，），过点A（3，﹣1）且与向量+2平行的直线l的方程为__________．15．定义平面向量之间的一种运算（⊗）如下：对任意的，令，下面说法正确的序号为__________．（把所有正确命题的序号都写上）①若共线，则②③对任意的④．19\n三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，，（1）求与的夹角θ；（2）若，且，试求．17．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．（1）求函数的解析式y=f（x）；（2）求函数的对称轴、对称中心、单调减区间．18．设两个非零向量和不共线．（1）如果=+，=2+8，=3﹣3，求证：A、B、D三点共线；（2）若||=2，||=3，与的夹角为60°，是否存在实数m，使得m+与﹣垂直？并说明理由．19．已知A、B、C三点的坐标分别是A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求sinα﹣cosα．20．（13分）如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求sinβ，cosβ，tanβ的值．19\n21．（14分）已知函数．（Ⅰ）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图；（Ⅱ）指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．2022-2022学年山东省潍坊市高密三中高一（下）3月月考数学试卷（创新班）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若α是第四象限的角，则π﹣α是()A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：先求出α的表达式，再求﹣α的范围，然后求出π﹣α的范围．解答：解：若α是第四象限的角，即：2kπ﹣π＜α＜2kπk∈Z19\n所以2kπ＜﹣α＜2kπ+π，k∈Z2kπ+π＜π﹣α＜2kπ+k∈Z故选C．点评：本题考查象限角、轴线角，考查学生计算能力，是基础题．2．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．和B．和C．和D．和考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．解答：解：不共线的向量可以作为基底；∴不能作为基底的便是共线向量；显然B，；∴和共线．故选：B．点评：考查向量基底的概念，知道作为基底的向量不共线，以及共面向量基本定理．3．已知向量=（2，4），向量=（x，3），且，则x的值是()A．6B．﹣6C．9D．12考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的关系进行求解即可．解答：解：∵，∴，即2x+3×4=0，解得x=﹣6，19\n故选：B．点评：本题主要考查向量垂直的应用，根据向量数量积的关系建立方程是解决本题的关键．4．把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为()A．y=cos2xB．y=﹣sin2xC．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象周期变换法则，我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式．解答：解：函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数y=sin2x的图象再把图象向左平移个单位，以得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象故选A点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键．5．若sinθ+cosθ=﹣1，则θ是第几象限角()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考点：同角三角函数间的基本关系；象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：化简已知等式可得sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣1，由同角的三角函数关系式，及二倍角公式即可求解．解答：解：∵sinθ+cosθ=﹣1，∴sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣1，∴若θ是第一象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=sin2θ+cos2θ=1，不正确；19\n若θ是第二象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=sin2θ﹣cos2θ=﹣cos2θ≠﹣1，不正确；若θ是第三象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣sin2θ﹣cos2θ=﹣1，正确；若θ是第四象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣sin2θ+cos2θ=cos2θ≠﹣1，不正确；故选：C．点评：本题主要考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．6．已知向量、满足，，，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点解答：解：由向量的加法原理知==2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选A．点评：本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．7．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是()A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．专题：分析法．分析：先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．解答：解：C、D中函数周期为2π，所以错误19\n当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选A．点评：本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性．属基础题．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．8．函数y=的其中一个对称中心为()A．B．C．（0，0）D．考点：正切函数的奇偶性与对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：对于函数y=，令2x﹣=，求得x的值，可得函数的图象的对称中心．解答：解：对于函数y=，令2x﹣=，求得x=π，k∈Z，故函数的图象的对称中心为（π，0），k∈Z，故选：A．点评：本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题．9．已知如图示是函数．的图象，那么()A．B．C．19\nD．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：利用x=0，y=1，结合φ的范围，求出φ的值，结合选项ω的值，确定函数的周期，利用图象判断正确选项．解答：解：f（0）=1，即．得，又当对应的周期T为，又由图可知，且，故，于是有T=π，则ω=2，故选D点评：本题考查选择题的解法，图象的应用能力，若非选择题，条件是不够的，不能由图得到周期的值，当然也不能得到ω的值．10．向量，，若与的夹角为钝角，则λ的范围()A．B．（2，+∞）C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：与的夹角为钝角，＜0，且不能反向共线，解出即可．解答：解：∵与的夹角为钝角，∴＜0，且不能反向共线，∴﹣2λ+1＜0，解得，共线时可得λ+2=0，λ=﹣2，∴λ的范围为．故选：D．点评：本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）19\n11．记cos（﹣70°）=k，那么tan110°等于﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：已知等式变形表示出cos70°，利用同角三角函数间的基本关系表示出sin70°，进而表示出tan70°，即可表示出所求式子．解答：解：∵cos（﹣70°）=cos70°=k，∴sin70°=，tan70°=，则tan110°=﹣tan70°=﹣，故答案为：﹣点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．已知向量，满足，，，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：直接利用向量的数量积的性质即可求解解答：解：∵====故答案为：2点评：本题主要考查了平面向量的数量积的基本运算，属于基础试题13．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用正切函数的定义求得三角函数的值，再求角α的最小正值．解答：解：由题意，点在第四象限19\n∵==∴角α的最小正值为故答案为：点评：本题重点考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，属于基础题．14．已知向量=（6，2），=（﹣4，），过点A（3，﹣1）且与向量+2平行的直线l的方程为3x+2y﹣7=0．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：直线与圆．分析：根据向量+2与直线l平行，求出直线的斜率k，利用点斜式求出直线l的方程．解答：解：∵向量=（6，2），=（﹣4，），∴+2=（6﹣8，2+1）=（﹣2，3）；∴过点A（3，﹣1）且与向量+2平行的直线l的斜率为k=﹣，∴直线l的方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣3），化简为3x+2y﹣7=0．故答案为：3x+2y﹣7=0．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线方程的应用问题，是基础题目．15．定义平面向量之间的一种运算（⊗）如下：对任意的，令，下面说法正确的序号为①③④．（把所有正确命题的序号都写上）①若共线，则②③对任意的④．19\n考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由向量共线的坐标表示结合新定义可得①正确；由新定义求出⊗与⊗，说明不一定相等；直接利用新定义计算可得③④成立．解答：解：①若共线，则由向量共线的坐标表示可得，mq﹣np=0，而=0，正确；②由题目定义可得，，⊗=pn﹣mq，不一定相等，错误；③对任意的λ∈R，⊗=λmq﹣λnp=λ（mq﹣np）=λ（⊗）正确；④=（mq﹣np）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=，正确．故答案为：①③④．点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量共线的坐标表示，考查了向量模的求法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，，（1）求与的夹角θ；（2）若，且，试求．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：（1）利用向量的数量积的运算律展开，利用向量的数量积公式将式子用向量的模、夹角表示，求出夹角．（2）设出的坐标；利用向量模的坐标公式及向量垂直的充要条件列出方程组，求出．解答：解：（1）∵=61，∴cosθ=，∴θ=120°．19\n（2）设，则，解得或．所以，或．点评：本题考查向量的数量积公式及数量积的运算律、考查向量模的坐标公式、考查向量垂直的充要条件．17．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．（1）求函数的解析式y=f（x）；（2）求函数的对称轴、对称中心、单调减区间．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．（2）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间，结合函数的对称轴和对称中心的定义进行求解即可．解答：解：（1）∵函数在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1，∴T==，∴ω=3．∵，∴（k∈Z），即φ=2kπ﹣，又∵|φ|＜，∴可得，∴函数．（2），19\n得x=，即f（x）的对称轴为x=（k∈Z）；由3x﹣=kπ，即x=+，即函数的对称中心为（+，0），令+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，解得+≤x≤+，即函数的单调递增区间为为[+，+]，k∈Z．点评：本题主要考查求三角函数的解析式与三角函数的有关基本性质，如函数的对称性，单调性，掌握基本函数的基本性质，是学好数学的关键．18．设两个非零向量和不共线．（1）如果=+，=2+8，=3﹣3，求证：A、B、D三点共线；（2）若||=2，||=3，与的夹角为60°，是否存在实数m，使得m+与﹣垂直？并说明理由．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）首先利用向量的加法运算，得到，然后观察与的共线关系判断三点共线；（2）假设存在m，利用向量垂直，数量积为0，得到m的方程，解方程即可．解答：证明：（1）∵=++=（+）+（）+（）=6（+）=6∴且与有共同起点∴A、B、D三点共线（2）假设存在实数m，使得m与垂直，则（m）•（）=0∴∵=2，=3，与的夹角为60°19\n∴，，∴4m+3（1﹣m）﹣9=0∴m=6故存在实数m=6，使得m与垂直．点评：本题考查了利用向量共线判断三点共线以及向量垂直的性质．19．已知A、B、C三点的坐标分别是A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求sinα﹣cosα．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）根据向量模的公式，将表示为关于α的方程，化简整理得tanα=1，再结合α∈（，）可得角α的值；（2）根据向量数量积的坐标公式，代入，化简得sinα+cosα=，平方整理得2sinαcosα=﹣＜0，从而得出α为钝角，最后根据同角三角函数的平方关系，算出sinα﹣cosα=．解答：解：（1）．…∴==由，得sinα=cosα⇒tanα=1，…∵，∴α=…（2）由，得cosα（cosα﹣3）+sinα（sinα﹣3）=﹣1，化简，得sinα+cosα=＞0，两边平方得，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=．19\n∴2sinαcosα=﹣…∵，∴sinα＞0且cosα＜0∴sinα﹣cosα====（舍负）…点评：本题给出向量的坐标，在模相等的情况下求角α的值．着重考查了平面向量的坐标运算、向量的数量积和三角函数恒等变形等知识，属于基础题．20．（13分）如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求sinβ，cosβ，tanβ的值．考点：任意角的三角函数的定义；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由题意，sinα=，cosα=﹣，tanα=﹣，即可求的值；（Ⅱ）若，则sinβ=sin（α﹣90°）=﹣cosα=，cosβ=cos（α﹣90°）=sinα=，tanβ=．解答：解：（Ⅰ）由题意，sinα=，cosα=﹣，tanα=﹣，∴==；（Ⅱ）若，则sinβ=sin（α﹣90°）=﹣cosα=，cosβ=cos（α﹣90°）=sinα=，tanβ=．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19\n21．（14分）已知函数．（Ⅰ）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图；（Ⅱ）指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：综合题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象；（Ⅱ）用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行；（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+）++m，x∈[﹣，]，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值．解答：解：（Ⅰ）先列表，再描点连线，可得简图．x﹣2x+0π2πsin（2x+）010﹣10y﹣19\n（Ⅱ）y=sinx向左平移得到y=sin（x+），再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为y=sin（2x+），最后再向上平移个单位得到y=sin（2x+）+．（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+）++m，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴g（x）∈[m，+m]，∴m=2，∴gmax（x）=+m=，当2x+=即x=时g（x）最大，最大值为．点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．19
