2022-2022学年山东省济宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为（ ） A．AB．AC．CAD．CA考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：本题即从6道题种选出4道题分给4个人，方法共有种，从而得出结论．解答：解：本题即从6道题种选出4道题分给4个人，方法共有种，故选A．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 2．（3分）曲线在点（1，）处切线的倾斜角为（ ） A．1B．45°C．﹣45°D．135°考点：直线的倾斜角．分析：本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化，要求曲线在点（1，）处切线的倾斜角，我们可以先求出曲线方程的导函数，并计算出点（1，）的斜率即该点的导数值，然后再计算倾斜角．解答：解：∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲线在点（1，）处切线的斜率为：﹣1故曲线在点（1，）处切线的倾斜角为：135°故选D点评：要计算曲线切线的倾斜角，其步骤为：①求出曲线方程的导函数②求出切点处的导数，即切线的斜率③根据斜率与倾斜角的关系，求出直线的倾斜角． 11\n3．（3分）（2022•中山模拟）函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（ ） A．B．﹣1C．0D．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：题目中条件：“函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值”，利用导数，得导函数的零点是1，从而得以解决．解答：解：∵，∴f′（1）=0⇒a+1=0，∴a=﹣1．故选B．点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题． 4．（3分）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（ ） A．252种B．112种C．70种D．56种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生两种情况一是包括甲、乙每屋住4人、3人，二是甲和乙两个屋子住5人、2人，列出两种情况的结果，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生包括甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人，∵当甲和乙两个屋子住4人、3人，共有C73A22当甲和乙两个屋子住5人、2人，共有C72A22∴根据分类计数原理得到共有C73A22+C72A22=35×2+21×2=112（种）．故选B．点评：本题考查分类计数问题，是一个基础题，解题时主要依据是要看清楚每个宿舍至少安排2名学生两种情况，注意做到不重不漏． 5．（3分）等于（ ） A．0B．1C．2D．4考点：定积分．专题：计算题．分析：先根据对称性，只算出0﹣π的图形的面积再两倍即可求出所求．解答：解：∫02π|sinx|dx=2∫0πsinxdx=2（﹣cosx）|0π=2（1+1）=4故选：D11\n点评：本题主要考查了定积分，对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 6．（3分）函数y=1+3x﹣x3有（ ） A．极小值﹣2，极大值2B．极小值﹣2，极大值3 C．极小值﹣1，极大值1D．极小值﹣1，极大值3考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：求出导函数，令导函数为0求根，判根左右两边的符号，据极值定义求出极值．解答：解：y′=3﹣3x2=3（1+x）（1﹣x）．令y′=0得x1=﹣1，x2=1．当x＜﹣1时，y′＜0，函数y=1+3x﹣x3是减函数；当﹣1＜x＜1时，y′＞0，函数y=1+3x﹣x3是增函数；当x＞1时，y′＜0，函数y=1+3x﹣x3是减函数．∴当x=﹣1时，函数y=1+3x﹣x3有极小值﹣1；当x=1时，函数y=1+3x﹣x3有极大值3．故选项为D点评：判断导函数为0的根左右两边的符号：符号左边为正右边为负的根为极大值；符号左边为负右边为正的根为极小值． 7．（3分）二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系为（ ） A．24B．18C．16D．6考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由于二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是•2=8，求得n的值，可得它的第三项的二项式系数的值．解答：解：由于二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是•2=8，∴n=4，故它的第三项的二项式系为=6，故选D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 8．（3分）（2022•浙江）已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且是实数，则实数t=（ ） A．B．C．D．11\n考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型；计算题．分析：化简的式子，该式子表示实数时，根据虚部等于0，解出实数t．解答：解：∵=（3+4i）（t+i）=3t﹣4+（3+4t）i是实数，∴3+4t=0，t=﹣．故选D．点评：本题考查复数代数形式的乘法，复数为实数的充要条件是虚部等于0． 9．（3分）（2022•开封二模）若的展开式中x3的系数为，则常数a的值为（ ） A．1B．2C．3D．4考点：二项式定理．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数为，求得实数a的值．解答：解：由于的展开式的通项公式为Tr+1=••=•a9﹣r••，令﹣9=3，可得r=8，故展开式中x3的系数为•a•=，∴a=4，故选D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 10．（3分）若An3=6Cn4，则n的值为（ ） A．6B．7C．8D．9考点：组合及组合数公式；排列数公式的推导．专题：计算题．分析：由An3=6Cn4，利用排列数公式和组合数公式，把原式等价转化为n（n﹣1）（n﹣2）=6×，由此能求出n的值．解答：解：∵An3=6Cn4，11\n∴n（n﹣1）（n﹣2）=6×，整理，得n﹣3=4，∴n=7．故选B．点评：本题考查排列数公式和组合数公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 11．（3分）函数y=sin（2x2+x）导数是（ ） A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）考点：简单复合函数的导数．分析：设H（x）=f（u），u=g（x），则H′（x）=f′（u）g′（x）．解答：解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．点评：牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用． 12．（3分）从字母a，b，c，d，e，f中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（ ）种． A．36B．72C．90D．144考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得结果．解答：解：由于ab已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有=6种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有6×6=36种，故选A．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题． 二、填空题（每小题4分，共16分．）13．（4分）曲线y=lnx在点M（e，1）处的切线的斜率是
，切线的方程为
x﹣ey=0 ．11\n考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出曲线的导函数，把切点的横坐标e代入即可求出切线的斜率，然后根据斜率和切点坐标写出切线方程即可．解答：解：y′=，切点为M（e，1），则切线的斜率k=，切线方程为：y﹣1=（y﹣e）化简得：x﹣ey=0故答案为：，x﹣ey=0点评：考查学生会根据导函数求切线的斜率，会根据斜率和切点写出切线方程． 14．（4分）若，则实数k的值为 ﹣1 ．考点：定积分．专题：计算题．分析：欲求k的值，只须求出函数x﹣k的定积分值即可，故先利用导数求出x﹣k的原函数，再结合积分定理即可求出用k表示的定积分．最后列出等式即可求得k值．解答：解：∵∫01（x﹣k）dx=（x2﹣kx）|01=﹣k．由题意得：﹣k=，∴k=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本小题主要考查定积分的简单应用、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 15．（4分）从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 34 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：所有的选法共有=35种，其中选出的4人全是男生的方法有1种，由此求得选出的4人中既有男生又有女生的不同的选法．11\n解答：解：所有的选法共有=35种，其中选出的4人全是男生的方法有1种，故选出的4人中既有男生又有女生的不同的选法共有35﹣1=34种，故答案为34．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题． 16．（4分）函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递减区间是 （﹣，1） ．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据f（x）的导函数建立不等关系，可得f'（0）≤0，建立不等量关系，求出单调递减区间即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2x﹣5，∴由3x2+2x﹣5＜0可得：∴x∈（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性等基础知识，考查分析和解决问题的能力． 三、解答题（本大题共4小题，共44分．）17．（8分）已知z=1+i．（1）设ω=z2+3﹣4，求ω的三角形式；（2）如果，求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：（1）把复数的具体形式代入所给的z2+3﹣4，根据乘方和共轭复数，算出ω的值，提出复数的模长，把代数形式变化为三角形式．（2）先进行复数的乘除运算，把具体的复数的值代入，整理成最简形式，得到复数相等的条件，使得复数的实部和虚部分别相等，得到关于a和b的方程组，解方程组即可．解答：解：（1）由z=1+i，有ω=z2+3﹣4=（1+i）2+3﹣4=2i+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，ω的三角形式是．11\n（2）由z=1+i，有===（a+2）﹣（a+b）i由题设条件知（a+2）﹣（a+b）i=1﹣i．根据复数相等的定义，得解得点评：本小题考查共轭复数、复数的三角形式，复数的混合运算等基础知识及运算能力．是一个综合题，解题的关键是整理过程千万不要出错． 18．（12分）已知在（x2﹣）n的展开式中，第9项为常数项，求：（1）n的值；（2）展开式中x5的系数；（3）含x的整数次幂的项的个数．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据（x2﹣）n的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为T9=28﹣n••x2n﹣20，故有2n﹣20=0，由此解得n=10．（2）由（1）可得展开式的通项公式为Tr+1=（﹣1）r•2r﹣10••．令x的幂指数等于5，求得r的值，可得展开式中x5的系数．（3）由20﹣为整数，可得r=0，2，4，6，8，从而得到含x的整数次幂的项的个数．解答：解：（1）在（x2﹣）n的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为T9=•28﹣n•x2n﹣16•x﹣4=28﹣n••x2n﹣20，故有2n﹣20=0，解得n=10．（2）由（1）可得展开式的通项公式为Tr+1=•2r﹣10•x20﹣2r•（﹣1）r•=（﹣1）r•2r﹣10••．11\n令20﹣=5，求得r=6，故展开式中x5的系数为•=．（3）由20﹣为整数，可得r=0，2，4，6，8，故含x的整数次幂的项的个数为5．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 19．（12分）（2022•深圳模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．专题：计算题．分析：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；（2）求出函数的最大值为f（﹣1），要使不等式恒成立，既要证f（﹣1）+c＜c2，即可求出c的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，由题意：即解得∴，f′（x）=3x2﹣3x﹣6令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，∴f（x）的减区间为（﹣1，2）；增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；在（﹣1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．∴x∈[﹣2，3]时，f（x）的最大值即为f（﹣1）与f（3）中的较大者.；∴当x=﹣1时，f（x）取得最大值．要使，只需，即：2c2＞7+5c解得：c＜﹣1或．∴c的取值范围为．11\n点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法． 20．（12分）（2022•北京）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：解法一：（1）：利用勾股定理的逆定理判断出AC⊥BC，同时因为三棱柱为直三棱柱，从而证出．（2）：因为D为AB的中点，连接C1B和CB1交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，根据三角形中位线定理得DE∥AC1，得到AC1∥平面CDB1；第三问：因为AC1∥DE，所以∠CED为AC1与B1C所成的角，求出此角即可．解法二：利用空间向量法．如图建立坐标系，（1）：证得向量点积为零即得垂直．（2）：=λ，与两个向量或者共线或者平行可得．第三问：解答：证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，∵DE⊂平面CDB1，AC1⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴cos∠CED==，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．解法二：11\n∵直三棱锥ABC﹣A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直．如图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D（，2，0）（Ⅰ）∵=（﹣3，0，0），=（0，4，4），∴•=0，∴⊥．（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2）∵=（﹣，0，2），=（﹣3，0，4），∴=，∴∥∵DE⊂平面CDB1，AC1⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）∵=（﹣3，0，0），=（0，4，4），∴cos＜，＞==，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．点评：本题考查向量的几何意义a•b=|a||b|cosα；向量垂直⇐a•b=0；直线与平面的证明方法． 11
