山东省济南一中高一数学上学期期中试卷含解析

2022-2022学年山东省济南一中高一（上）期中数学试卷一、选择题，每题4分，共48分1．下列关系式中，正确的是()A．∈QB．{（a，b）}={（b，a）}C．2∈{1，2}D．∅=02．下列各组函数中表示同一函数的是()A．，B．，g（x）=x+1C．f（x）=|x|，D．，g（x）=3．下列函数中，定义域为R的是()A．y=B．y=（x﹣1）0C．y=x3+3D．y=4．已知集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，映射f：A→B，（x，y）→（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是()A．（，﹣）B．（，）C．（3，1）D．（1，3）5．不等式6x2﹣13x+6＜0的解集为()A．{x|x＜﹣或x＞}B．{x|x＜或x＞}C．{x|﹣＜x＜}D．{x|＜x＜}6．下列函数中能用二分法求零点的是()A．B．C．D．7．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时f（x）的解析式是f（x）=()A．﹣x（x﹣1）B．﹣x（x+1）C．x（x﹣1）D．x（x+1）8．如果偶函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是()A．减函数且最大值是5B．增函数且最大值是﹣5C．减函数且最大值是﹣5D．增函数且最小值是59．若x＜，则等于()-13-\nA．3x﹣1B．1﹣3xC．（1﹣3x）2D．非以上答案10．函数的图象大致为()A．B．C．D．11．若指数函数过点（2，4），则它的解析式为()A．y=2xB．y=（﹣2）xC．y=（）xD．y=（﹣）x12．若函数y=﹣x2+4x﹣3的定义域为[0，t]，值域为[﹣3，1]，则t的取值范围是()A．（0，4]B．C．[2，4]D．[2，+∞）二、填空每题4分13．f（x）的图象如图，则f（x）的值域为__________．14．已知，则f{f[f（﹣1）]}=__________．15．函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+a﹣2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数a的取值范围是__________．16．若函数y=ax（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为__________．17．对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）-13-\n（3）当f（x）=ex时，上述结论中正确结论的序号是__________．18．已知集合A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）若a=﹣2，求A∩∁RB；（2）若A⊆B，求a的取值范围．19．用定义证明函数f（x）=3x﹣1在（﹣∞，+∞）上是增函数．20．定义在[﹣1，1]上的函数y=f（x）是增函数，且是奇函数，若f（a﹣1）+f（4a﹣5）＞0，求实数a的取值范围．21．已知x=27，y=64．化简并计算．22．已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．-13-\n2022-2022学年山东省济南一中高一（上）期中数学试卷一、选择题，每题4分，共48分1．下列关系式中，正确的是()A．∈QB．{（a，b）}={（b，a）}C．2∈{1，2}D．∅=0【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合之间的关系进行判断；【解答】解：A、Q是有理数，是无理数，∉Q，故A错误；B、若a=b，{（a，b）}={（b，a）}，若a≠b，{（a，b）}≠{（b，a）}，故B错误；C、2是元素，{1，2}是集合，2∈{1，2}，故C正确；D、空集说明集合没有元素，0可以表示一个元素，故D错误；故选C；【点评】此题主要考查元素与集合的关系和集合与集合之间的关系，是一道基础题；2．下列各组函数中表示同一函数的是()A．，B．，g（x）=x+1C．f（x）=|x|，D．，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】阅读型．【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【解答】解；对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为{x|x≠1}，g（x）的定义域为R，∴不是同一函数对于C选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为R，且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数对于D选项，f（x）的定义域为[1，+∞），g（x）的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），∴不是同一函数故选A【点评】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数．3．下列函数中，定义域为R的是()A．y=B．y=（x﹣1）0C．y=x3+3D．y=【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】分别求出选项中每个函数的定义域，即可得出正确的答案．【解答】解：对于A，y=的定义域是[0，+∞），∴不满足题意；对于B，y=（x﹣1）0的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴不满足题意；-13-\n对于C，y=x3+3的定义域是（﹣∞，+∞），∴满足题意；对于D，y=的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴不满足题意．故选：C．【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．4．已知集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，映射f：A→B，（x，y）→（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是()A．（，﹣）B．（，）C．（3，1）D．（1，3）【考点】映射．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数和映射的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵映射f：A→B，（x，y）→（x+y，x﹣y），∴由，即，即象（2，1）的原象是（，），故选：B【点评】本题主要考查映射的应用，根据映射关系建立方程关系是解决本题的关键．5．不等式6x2﹣13x+6＜0的解集为()A．{x|x＜﹣或x＞}B．{x|x＜或x＞}C．{x|﹣＜x＜}D．{x|＜x＜}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】把不等式6x2﹣13x+6＜0化为（2x﹣3）（3x﹣2）＜0，求出它的解集即可．【解答】解：不等式6x2﹣13x+6＜0可化为（2x﹣3）（3x﹣2）＜0，该不等式对应方程的实数根为和，所以该不等式的解集为{x|＜x＜}．故选：D．【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集的应用问题，是基础题目．6．下列函数中能用二分法求零点的是()A．B．C．D．【考点】二分法的定义．-13-\n【专题】作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，分析选项可得答案．【解答】解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有C能满足此条件．故选：C．【点评】本题考查二分法的定义，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．7．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时f（x）的解析式是f（x）=()A．﹣x（x﹣1）B．﹣x（x+1）C．x（x﹣1）D．x（x+1）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用奇函数的性质即可得出．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，∵当x＞0时f（x）=x（1﹣x），∴f（﹣x）=﹣x（1+x），∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x），故选：D．【点评】本题考查了奇函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如果偶函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是()A．减函数且最大值是5B．增函数且最大值是﹣5C．减函数且最大值是﹣5D．增函数且最小值是5【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为偶函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是减函数，又偶函数f（x）在区间[3，7]上有最大值5，即f（x）max=f（7）=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上的最大值f（x）max=f（﹣7）=f（7）=5，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性间的关系，注意偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反，奇函数在关于y轴对称的区间上单调性一致．9．若x＜，则等于()A．3x﹣1B．1﹣3xC．（1﹣3x）2D．非以上答案【考点】方根与根式及根式的化简运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用根式的运算性质即可得出．-13-\n【解答】解：∵x＜，∴1﹣3x＞0．∴==|1﹣3x|=1﹣3x．故选：B．【点评】本题考查了根式的运算性质，属于基础题．10．函数的图象大致为()A．B．C．D．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】数形结合．【分析】可用排除法选择，根据指数函数的图象和性质，当x＜0时f（x）＞1且为减函数，当x＞0时由指数函数的图象可排除D．【解答】解：当x＜0时f（x）＞1且为减函数可排除B，C当x＞0时由指数函数的图象可排除D故选A【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质的应用，同时，还考查了客观题处理要灵活，可选择特殊法，排除法，验证法等，提高解题效率．11．若指数函数过点（2，4），则它的解析式为()A．y=2xB．y=（﹣2）xC．y=（）xD．y=（﹣）x【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数y=ax的图象过点（2，4），把点的坐标代入解析式，求出a的值即可．【解答】解：∵指数函数y=ax的图象经过点（2，4），∴a2=4，解得a=2．故选：A．【点评】本题考查了指数函数y=ax的图象与性质的应用问题，是容易题．12．若函数y=﹣x2+4x﹣3的定义域为[0，t]，值域为[﹣3，1]，则t的取值范围是()A．（0，4]B．C．[2，4]D．[2，+∞）【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．-13-\n【分析】由题意，化简y=f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，又由函数y=﹣x2+4x﹣3的定义域为[0，t]，值域为[﹣3，1]知，t在对称轴上或其右侧，结合图象解得．【解答】解：∵y=f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，又∵f（0）=f（4）=﹣3，f（2）=1；∴t∈[2，4]，故选C．【点评】本题考查了函数的定义域与值域的关系，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．二、填空每题4分13．f（x）的图象如图，则f（x）的值域为[﹣4，3]．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的图象求函数的最大值和最小值，从而求得函数的值域．【解答】解：由函数的图象可得，当x=5时，函数取得最小值为﹣4，函数的最大值为3，故函数的值域为[﹣4，3]，故答案为[﹣4，3]．【点评】本题主要考查函数的图象的特征，利用函数的图象求函数的最大值和最小值，属于基础题．14．已知，则f{f[f（﹣1）]}=3．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数，直接代入进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知，f（﹣1）=0，∴f（f（﹣1））=f（0）=2．∴f{f[f（﹣1）]}=f（2）=2+1=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查分段函数的应用，注意分段函数的取值范围，比较基础．15．函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+a﹣2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．-13-\n【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据一元二次函数根的分布建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+a﹣2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则f（1）＜0，即f（1）=1+2a﹣1+a﹣2=3a﹣2＜0，则a＜，故实数a的取值范围是（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）【点评】本题主要考查一元二次函数根的分布，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．16．若函数y=ax（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为2．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1，函数y=ax在[0，1]上为单调减函数，根据函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a②a＞1，函数y=ax在[0，1]上为单调增函数，根据函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a即可．【解答】解：①当0＜a＜1时函数y=ax在[0，1]上为单调减函数∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a∵函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2（舍）②当a＞1时函数y=ax在[0，1]上为单调增函数∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1∵函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2-13-\n故答案为：2．【点评】本题考查了函数最值的应用，但解题的关键要注意对a进行讨论，属于基础题．17．对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=ex时，上述结论中正确结论的序号是（1）、（3）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=ex，利用指数函数的性质，知f（x1+x2）=f（x1）f（x2），f（x1x2）≠f（x1）+f（x2）；由f（x）=ex是增函数，知．【解答】解：∵f（x）=ex时，f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），∴f（x1+x2）===f（x1）f（x2），故（1）正确；f（x1x2）=≠+=f（x1）+f（x2），故（2）不正确；∵f（x）=ex是增函数，∴，故（3）正确．故答案为：（1）、（3）．【点评】本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数的性质的灵活运用．18．已知集合A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）若a=﹣2，求A∩∁RB；（2）若A⊆B，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】（1）由已知中全集U=R，集合A={x|x≤1}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，求出CRB，代入A∩（CRB）中，由集合交集的定义，即可得到答案．（2）由A⊆B得到集合A是集合B的子集，即集合A包含在集合B中，建立关于a的不等关系式即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2时，集合A={x|x≤1}CRB={x|﹣1≤x≤5}∴A∩CRB={x|﹣1≤x≤1}（2）∵A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}由于A⊆B∴a+3＜﹣1∴a＜﹣4-13-\n【点评】本题考查的知识点是集合的交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，是一道综合题．19．用定义证明函数f（x）=3x﹣1在（﹣∞，+∞）上是增函数．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】用定义证明函数y=3x﹣1在R上是单调增函数，首先在实数集范围内任取两个变量x1和x2，并且规定二者的大小，然后把f（x1）和f（x2）进行作差，判断出差的符号后借助于函数单调性的定义得结论．【解答】证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2则：f（x1）﹣f（x2）=3x1﹣1﹣（3x2﹣1）=3（x1﹣x2）因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，所以3（x1﹣x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数y=3x﹣1在R上是单调增函数．【点评】本题考查了函数单调性的定义与证明，运用单调性定义证明一个函数在某区间上的单调性，关键是对两个函数差式进行因式分解后判断符号，学生证明时往往会犯“证题用题”的错误，此题是基础题20．定义在[﹣1，1]上的函数y=f（x）是增函数，且是奇函数，若f（a﹣1）+f（4a﹣5）＞0，求实数a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件f（x）为奇函数，且在[﹣1，1]上为增函数，便可由f（a﹣1）+f（4a﹣5）＞0得到f（a﹣1）＞f（5﹣4a），进一步得到，这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围．【解答】解：f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数；∴由f（a﹣1）+f（4a﹣5）＞0得，f（a﹣1）＞f（5﹣4a）；又f（x）在[﹣1，1]上为增函数；∴；解得；∴实数a的取值范围是．【点评】考查奇函数的定义，增函数的定义，以及根据增函数的定义解不等式，注意要使a﹣1，5﹣4a在定义域[﹣1，1]内．-13-\n21．已知x=27，y=64．化简并计算．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】化简表达式，代入x，y的值，求解即可．【解答】解：x=27，y=64．===24×=48．…．【点评】本题考查函数值的求法，考查计算能力．22．已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；指数函数综合题．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（I）将点的坐标，代入函数解析式，即可求得f（x）的解析式；（II）求出在x∈（﹣∞，1]上的最小值，不等式在x∈（﹣∞，1]上恒成立，转化为g（x）min≥2m+1，从而可求实数m的取值范围．【解答】解：（I）由题意得，∴a=2，b=3，…∴f（x）=3•2x…（II）设，则y=g（x）在R上为减函数．…∴当x≤1时，…∵在x∈（﹣∞，1]上恒成立，…∴g（x）min≥2m+1，…∴，∴∴m的取值范围为：．…-13-\n【点评】本题考查函数解析式的确定，考查恒成立问题，求出函数的最值是关键．-13-