2022-2022学年山东省临沂市兰陵四中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一.选择题1．已知数列{an}中，，那么是这个数列的第()A．9项B．10项C．11项D．12项2．已知下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②如果向量与向量平行，则与的方向相同或相反；③如果向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；④如果∥，∥，那么∥；⑤两个向量不能比较大小，但是他们的模能比较大小．其中正确的命题为()A．①②④⑤B．②④⑤C．⑤D．③④3．在等差数列{an}中，已知a3+a5+a7+a9+a11=180，则a7的值为()A．30B．36C．48D．724．如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=()A．B．C．D．5．已知数列{an}中，a1=1，an=n（an+1﹣an）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为()A．2n﹣1B．nC．D．n26．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=()A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a27．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于()A．5B．10C．15D．20-15-\n8．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为()A．B．C．D．9．下列四组数：（1），，；（2）2，，4；（3）a2，a4，a8；（4）lg2，lg4，lg8；那么()A．（1）是等差数列，（2）是等比数列B．（2）和（3）是等比数列C．（3）是等比数列，（4）是等差数列D．（2）是等比数列，（4）是等差数列10．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为()A．B．C．D．二、填空题11．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=__________．12．求数列的前n项和Sn=__________．13．已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=__________．14．设函数，并且满足f（1+x）+f（﹣x）为定值，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为__________．15．已知两个等差数列{an}，{bn}的前n和分别为Sn，Tn，且满足，求=__________．-15-\n二.解答题16．已知两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使得与共线；（3）若=（1，2），=（1，1），，且⊥，求实数λ的值．17．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2﹣2n﹣1，求这个数列的通项公式．18．已知，，（，（1）求与的夹角（2）求，．19．（13分）已知数列{an}是等差数列，且a2=3，a5=6，数列{bn}是等比数列且公比q=2，S4=15（1）求通项公式an，bn（2）设{an}的前n项和为Sn，证明：数列是等差数列（3）设数列的前n项和为Tn，求Tn．20．（13分）已知向量，，函数（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a＞b，求a，b的值．21．（13分）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2n+（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．-15-\n2022-2022学年山东省临沂市兰陵四中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一.选择题1．已知数列{an}中，，那么是这个数列的第()A．9项B．10项C．11项D．12项【考点】数列的函数特性．【专题】计算题．【分析】由条件得，要判断是数列中的哪一项，只需令an=，解出n得值即可．【解答】解：∵，令an=，可得=，∴n=10．故选B．【点评】要判断某个数是否是数列中的项（或是数列中的哪一项），只需要根据通项公式，让an等于该值，解方程进行判断．2．已知下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②如果向量与向量平行，则与的方向相同或相反；③如果向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；④如果∥，∥，那么∥；⑤两个向量不能比较大小，但是他们的模能比较大小．其中正确的命题为()A．①②④⑤B．②④⑤C．⑤D．③④【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据题意，结合平面向量的基本概念，对题目中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于①，有向线段可以表示向量，向量是矢量，用有向线段表示，∴①错误；对于②，当向量与向量平行时，与的方向相同或相反或有一个是零向量，∴②错误；对于③，当向量与向量共线时，A，B，C，D四点不一定共线，∴③错误；对于④，当∥，∥时，若=，则∥不一定成立，∴④错误；对于⑤，向量是矢量，两个向量不能比较大小，他们的模能比较大小，∴⑤正确．综上，正确命题的序号是⑤．-15-\n故选：C．【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，向量是矢量，大小和方向是向量的两个要素，是基础题目．3．在等差数列{an}中，已知a3+a5+a7+a9+a11=180，则a7的值为()A．30B．36C．48D．72【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{an}的性质，及a3+a5+a7+a9+a11=180，可得5a7=180，解出即可得出．【解答】解：由等差数列{an}的性质，及a3+a5+a7+a9+a11=180，∴5a7=180，解得a7=36．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=()A．B．C．D．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【专题】计算题．【分析】利用向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，结合正方体进行求解．【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴==，∵=，∵，∴=．故选D．-15-\n【点评】本题考查向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．已知数列{an}中，a1=1，an=n（an+1﹣an）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为()A．2n﹣1B．nC．D．n2【考点】数列递推式．【专题】转化思想；做商法；等差数列与等比数列．【分析】an=n（an+1﹣an），可得=，利用“累乘求积”即可得出．【解答】解：∵an=n（an+1﹣an），∴=，∴an=•…••a1=•…••1=n，故选：B．【点评】本题考查了递推关系的应用、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=()A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题7．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于()A．5B．10C．15D．20【考点】等比数列．-15-\n【分析】先由等比数列的性质求出a2•a4=a32，a4•a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25求解．【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4=a32，a4•a6=a52∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为（a3+a5）2=25又∵an＞0∴a3+a5=5故选A【点评】本题主要考查等比数列性质和解方程．8．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为()A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】平面向量及应用．【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．9．下列四组数：（1），，；（2）2，，4；（3）a2，a4，a8；（4）lg2，lg4，lg8；那么()A．（1）是等差数列，（2）是等比数列B．（2）和（3）是等比数列C．（3）是等比数列，（4）是等差数列D．（2）是等比数列，（4）是等差数列【考点】等比数列；等差数列．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）是公比为的等比数列；（2）是公比为﹣的等比数列；（3）对a分类讨论即可得出；（4）lg2，lg4，lg8，即为lg2，2lg2，3lg2，是公差为lg2的等差数列．【解答】解：（1），，，是公比为的等比数列；（2）2，，4，是公比为﹣的等比数列；（3）a2，a4，a8，a=0时是等差数列；a=1时既是等差数列，又是等比数列；a≠0，1时，是等比数列；-15-\n（4）lg2，lg4，lg8，即为lg2，2lg2，3lg2，是公差为lg2的等差数列．因此D正确，故选：D．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为()A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值【解答】解：∵P是BN上的一点，设，由，则=====∴m=1﹣λ，解得λ=，m=故选D【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组，是解答本题的关键．二、填空题-15-\n11．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．12．求数列的前n项和Sn=．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由于=﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求．【解答】解：由于=﹣，即有++…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于基础题．13．已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．【解答】解：由题意可知：，因为，所以，所以=-15-\n==﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．14．设函数，并且满足f（1+x）+f（﹣x）为定值，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】求出f（1+x）+f（﹣x）的定值，利用倒序相加法，求解所求表达式的值．【解答】解：函数，∴f（1+x）+f（﹣x）=====，f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）=[f（﹣4）+f（5）+f（﹣3）+f（4）+f（﹣2）+f（3）+f（﹣1）+f（2）+f（0）+f（1）+…+f（5）+f（﹣4）]==故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，利用题目提示的方法，求解是解题的关键．15．已知两个等差数列{an}，{bn}的前n和分别为Sn，Tn，且满足，求=．【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．-15-\n【分析】利用等差数列的性质可得：==，即可得出．【解答】解：∵两个等差数列{an}，{bn}的前n和分别为Sn，Tn，且满足，∴====，故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.解答题16．已知两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使得与共线；（3）若=（1，2），=（1，1），，且⊥，求实数λ的值．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【专题】证明题；方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）由已知条件利用向量的坐标运算推导出=5，从而共线，由此能证明A、B、D三点共线．（2）由已知得存在实数λ，使=λ（），从而得到k2﹣1=0，由此能求出k．（3）先求出=（1+λ，2+λ），再由向量垂直数量积为0的性质能求出λ．【解答】（1）证明：∵，，，∴====5，∴共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．（2）解：∵与共线，∴存在实数λ，使=λ（），-15-\n即=λ，∴（k﹣λ）=，∵是两个不共线的非零向量，∴k﹣λ=λk﹣1=0，∴k2﹣1=0，解得k=±1．（3）∵=（1，2），=（1，1），，且⊥，∴=（1+λ，2+λ），=1+λ+2+λ=0，解得λ=﹣．【点评】本题考查三点共线的证明，考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意向量平行、向量垂直的性质的合理运用．17．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2﹣2n﹣1，求这个数列的通项公式．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】在数列的前n项和中，取n=1求得首项，再由an=Sn﹣Sn﹣1求得n≥2时的通项公式，验证首项后得答案．【解答】解：当n=1时，a1=s1=﹣2；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣2n﹣1）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣1]=（n2﹣2n﹣1）﹣（n2﹣4n+2）=2n﹣3．当n=1时，a1=﹣2，不适合上式∴数列的通项公式为．【点评】本题考查数列递推式，考查了利用数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．18．已知，，（，（1）求与的夹角（2）求，．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）运用向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，就是即可得到所求夹角；（2）运用向量的平方即为模的平方，即可得到所求值．【解答】解：（1）由，，，可得42﹣32﹣4•=61，即有4×16﹣3×9﹣4•=61，解得•=﹣6，-15-\n由cosθ===﹣，由于0≤θ≤π，可得与的夹角为；（2）====；====2．【点评】本题考查向量数量积的定义和运算性质，主要考查向量的夹角公式和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．19．（13分）已知数列{an}是等差数列，且a2=3，a5=6，数列{bn}是等比数列且公比q=2，S4=15（1）求通项公式an，bn（2）设{an}的前n项和为Sn，证明：数列是等差数列（3）设数列的前n项和为Tn，求Tn．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】计算题；证明题；等差数列与等比数列．【分析】（1）设数列{an}的首项为a1公差为d，从而可得an=n+1；设数列{bn}的首项为b1，从而可得，从而解得；（2）由（1）知，从而利用定义证明；（3）由（2）知，，从而可得，故利用错位相减法求解即可．【解答】解：（1）设数列{an}的首项为a1公差为d，∵a5=a2+3d，∴d=1，a1=2；∴an=n+1；设数列{bn}的首项为b1，∵，即，解得b1=1；故．-15-\n（2）证明：由（1）知，，∴，∴数列是以2为首项，以为公差的等差数列．（3）由（2）知，，即，；∴，∴Tn=4•2﹣1+5•20+6•21+…+（n+3）2n﹣2；2Tn=4•20+5•21+6•22+…+（n+3）2n﹣1；两式相减可得，﹣Tn=2+﹣（n+3）2n﹣1=2+2n﹣1﹣1﹣（n+3）2n﹣1=﹣（n+2）2n﹣1+1；∴Tn=（n+2）2n﹣1﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用及错位相减法的应用，同时考查了转化的思想应用．20．（13分）已知向量，，函数（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a＞b，求a，b的值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意结合数量积的定义可得f（x）的解析式，由整体法可求单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1，进而可得，结合余弦定理和结合可解答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：===由，得．-15-\n所以f（x）的单调增区间是．（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1∵C是三角形内角，∴，即，∴cosC==，即a2+b2=7．将代入可得，解之得：a2=3或4，∴a=或2，∴b=2或，∵a＞b，∴a=2，b=．【点评】本题为三角函数和解三角形的综合应用，涉及余弦定理，属中档题．21．（13分）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2n+（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列中an与Sn关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1解决．（2）由（1）bn=2n+n（﹣1）n，应用分组求和法求和．【解答】解：（1）解：当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1==n，n=1时也适合．所以an=n（2）由（1）bn=2n+n（﹣1）n，数列{bn}的前2n项和T2n=21+22+…22n+[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣（2n﹣1）+2n]=+n=4n+n﹣1【点评】本题考查利用数列中an与Sn关系求数列通项．数列求和计算，考查分组求和，公式应用能力．-15-
