2022-2022学年山东省临沂市兰陵四中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=()A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}2．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为()A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞03．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=()A．﹣2B．0C．1D．25．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为()A．（﹣1，1]B．（0，1]C．8．已知向量=（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于()A．﹣B．C．﹣或D．09．设函数f（x）=xex，则()A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点10．已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（1﹣x）=f（1+x），当x∈时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log7x的零点个数()A．3B．4C．5D．6二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为__________．-14-\n12．函数的值域为__________．13．曲线y=2x2与x轴及直线x=1所围成图形的面积为__________．14．在△ABC中，若，则的值为__________．15．若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在上的最大值为4，最小值为m，且函数在上的最大值和最小值．21．已知a∈R，函数f（x）=（﹣x2+ax）e﹣x（x∈R，e为自然对数的底数）．（I）当a=﹣2时，求函数，f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）内单调递减，求a的取值范围；（III）函数f（x）是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围：若不是，请说明理由．-14-\n2022-2022学年山东省临沂市兰陵四中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=()A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选D【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为()A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0【考点】全称命题；命题的否定．【专题】计算题．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，∴命题的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”故选B．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．3．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件-14-\nC．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．4．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=()A．﹣2B．0C．1D．2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．5．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为()A．（﹣1，1]B．（0，1]C．．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题．-14-\n6．函数f（x）=的大致图象是()A．B．C．D．【考点】函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选A．【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．7．已知α是第二象限角，=()A．B．C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．-14-\n8．已知向量=（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于()A．﹣B．C．﹣或D．0【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．【解答】解：∵=（1，m），=（m，2），且，所以1•2=m•m，解得m=或m=．故选C．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，向量，则的充要条件是x1y2﹣x2y1=0，是基础题．9．设函数f（x）=xex，则()A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选D【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，10．已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（1﹣x）=f（1+x），当x∈时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log7x的零点个数()A．3B．4C．5D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．-14-\n【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所绘的图象包含了几个交点即可知零点的个数．【解答】解：函数f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），又f（1﹣x）=f（1+x），可得f（2﹣x）=f（x），故可得f（﹣x）=f（2﹣x），即f（x）=f（x﹣2），即函数的周期是2又x∈时，f（x）=x2，要研究函数y=f（x）﹣log7x零点个数，可将问题转化为y=f（x）与y=log7x有几个交点如图由图知，有6个交点故选D．【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数y=f（x）﹣log7x在的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】由条件可得求得=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=，再由θ的范围求出θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴++=1++4=6，∴=1．-14-\n∴cosθ==，再由θ的范围为，可得θ=，故答案为．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，求出=1，是解题的关键，属于中档题．12．函数的值域为（﹣∞，2）．【考点】对数函数的值域与最值；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数的值域．【解答】解：当x≥1时，f（x）=；当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2．所以函数的值域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．【点评】本题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集．是基础题．13．曲线y=2x2与x轴及直线x=1所围成图形的面积为．【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】求曲线y=2x2与x轴及直线x=1所围成图形的面积即求S=即可．【解答】解：如图所示：阴影部分的面积可以看做以下定积分．S===．-14-\n【点评】利用定积分求面积是求面积的通法，应熟练掌握．14．在△ABC中，若，则的值为﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】在△ABC中，若，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为+2cos2A﹣1，运算求得结果．【解答】解：在△ABC中，若，则==+cos2A=+2cos2A﹣1=+﹣1=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．15．若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在上的最大值为4，最小值为m，且函数在∴，∴p≥4．【点评】本小题主要考查了函数定义域的求解，不等式的基本解法，集合交并运算的求解．考查学生等价转化的思想、数形结合的思想．17．函数f（x）=x2﹣2ax（0≤x≤1）的最大值．【考点】二次函数的性质．-14-\n【专题】应用题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的自变量的取值范围和a的范围可得出最大值与最小值．【解答】解：y=x2﹣2ax的对称轴为直线x=a，开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．当a≤0时，0≤x≤1在对称轴的右侧，当x=0时有最小值0，当x=1时有最大值1﹣2a；当0＜a≤时，则当x=a时有最小值﹣a2，此时a﹣0＜1﹣a，故当x=1时有最大值1﹣2a；当＜a≤1时，则当x=a时有最小值﹣a2，此时a﹣0＞1﹣a，故当x=0时有最大值0；当a＞1时，0≤x≤1在对称轴左侧，当x=1时有最小值1﹣2a，当x=0时有最大值．【点评】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数对称轴两侧的增减性是解题的关键，情况比较多，注意分类讨论18．已知ABC的顶点坐标为A（1，0），B（4，3），C（6，﹣4），点P的横坐标为3，且．（1）求实数λ的值．（2）试在边BC上求一点Q，使得．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）根据条件便有3﹣1=λ（4﹣3），这样即可得出λ值；（2）可设Q（x，y），根据Q点在边BC上，从而有，（0≤λ≤1），这样即可用λ表示Q点的坐标为Q（2λ+4，3﹣7λ），而由便可得到，进行数量积的坐标运算即可求出λ，从而得出Q点坐标，即在边BC上找到了点Q，使得．【解答】解：（1）点P的横坐标为3，且；∴3﹣1=λ（4﹣3）；∴λ=2；（2）设Q（x，y），则（0≤λ≤1）；∴（x﹣4，y﹣3）=λ（2，﹣7）；∴；∴；-14-\n∴，；；∴；∴（2λ+3）•2+（3﹣7λ）（﹣7）=0；∴；∴Q点坐标为．【点评】考查向量坐标的数乘运算，能由点的坐标求向量的坐标，共线向量基本定理，数量积的坐标运算，以及向量垂直的充要条件．19．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，-14-\n∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值（Ⅱ）通过x的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx===．因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π又ω＞0，所以，解得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），-14-\n当时，，所以，因此，﹣1≤f（x），所以f（x）在区间上的最大值和最小值分别为：．【点评】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力．21．已知a∈R，函数f（x）=（﹣x2+ax）e﹣x（x∈R，e为自然对数的底数）．（I）当a=﹣2时，求函数，f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）内单调递减，求a的取值范围；（III）函数f（x）是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围：若不是，请说明理由．【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）f′（x）=e﹣x，若f（x）在（﹣1，1）内单调递减，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≤0，即x2﹣（a+2）x+a≤0对x∈（﹣1，1）恒成立，变换主元，可得不等式组，从而可求a的值；（III）判断函数不可能是整个实数域上的单调递减函数；要成为单调递增函数，则x2﹣（a+2）x+a≥0对x∈R恒成立，判断其不可能，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=（﹣x2﹣2x）e﹣x；f′（x）=（x2﹣2）e﹣x令f′（x）＜0，得x2﹣2＜0，∴﹣＜x＜∴f（x）的单调递减区间是（﹣，）；（Ⅱ）f′（x）=e﹣x，若f（x）在（﹣1，1）内单调递减，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≤0，即x2﹣（a+2）x+a≤0对x∈（﹣1，1）恒成立；令g（x）=x2﹣（a+2）x+a，则-14-\n∴，解得a≤﹣；（III）f′（x）=e﹣x，其正负取决于二次式x2﹣（a+2）x+a，该二次式值（首项为正）不可能永为负，也就是说原函数不可能是整个实数域上的单调递减函数；若要成为单调递增函数，则x2﹣（a+2）x+a≥0对x∈R恒成立∵△=（a+2）2﹣4a=a2+4＞0∴函数不可能在R上单调递增综上可知，函数f（x）不可能为R上的单调函数．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．-14-
