2022年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．（1）设集合，，全集，则集合的元素个数为（▲）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【命题意图】本题考查集合的运算，容易题.（2）若复数为纯虚数,则的值为（▲）A．1B．C．D．【答案】D【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题.（3）下列说法中，正确的是（▲）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“，”的否定是“，”C．命题“”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题.（4）在数列中，，，则（▲）-10-A．B．C．D．【答案】B【命题意图】本题考查数列的周期性，考查学生利用已有知识解决问题的能力，容易题.（5）已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于121的概率为（▲）否开始n=1输入xn=n+1x=3x+1输入x输出x结束是A.B.C.D.【答案】D第6题图正视图侧视图俯视图【命题意图】本题考查程序框图，容易题.（6）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（▲）A.B.C.D.【答案】C【命题意图】本题考查几何体的三视图和几何体体积的计算，中等题.（7）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（▲）A．B．C．D．【答案】A【命题意图】本题考查双曲线、抛物线标准方程及其简单几何性质，中等题.（8）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数是（▲）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【答案】B【命题意图】本题考查三角函数的有关概念、性质、变换，中等题.（9）定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足-10-，则当时，有（▲）A．B．C．D．【答案】A【命题意图】本题考查函数的性质、导数的应用，考查学生利用已有知识解决问题的能力，较难题.时，为减函数，的图象关于直线对称。（10）在直角坐标系中，点的坐标分别为，为坐标原点，动点满足，则的最小值是（▲）A．B．C．D．【答案】C【命题意图】本题考查向量的模、数形结合思想，参数方程，三角函数最值，较难题.提示：P的坐标为第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．（11）在的展开式中，的系数为▲.【答案】.【命题意图】本题考查二项式定理，容易题.（12）已知圆的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为，若极轴与轴的非负半轴重合，则直线被圆截得的弦长为▲.【答案】.【命题意图】本题考查极坐标和参数方程，容易题.（13）已知为由不等式组所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为▲.【答案】.-10-【命题意图】本题考查线性规划，中等题.（14）某班3名男生2名女生被派往三个单位实习，每个单位至少去一人，两名女生不去同一单位，则不同的分派方案有▲种（用数字作答）.【答案】114.【命题意图】本题考查排列组合，较难题.（15）已知正方体的棱长为.给出下列五个命题：①对角线被平面和平面三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；④正方体与以为球心，为半径的球的公共部分的体积是；⑤在正方形内，到顶点与棱的距离相等的点的轨迹为一段抛物线.其中正确命题的序号为▲（将你认为正确命题的序号都填上）.【答案】①②④.【命题意图】本题考查立体几何线线、线面、面面位置关系及体积计算等知识，较难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）(本题满分12分)在中，三内角的对边分别是，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积.【命题意图】本题考查正、余弦定理及三角形面积公式等知识，考查学生运算能力和运用知识的能力，中等题.解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得.…………………………2分∴，……………………………4分（Ⅱ）∵，，，∴，-10-∴；又是的内角，∴，……………8分∴∴的面积……………12分（17）(本题满分12分)某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第3,4,5组的频率；（Ⅱ）该校决定在第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行问卷调查，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行面谈，若这2名学生中有名学生是第4组的，求的分布列和数学期望.【命题意图】本题考查频率分布直方图、概率、分层抽样、随机变量的分布列与期望等基础知识，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题.解：（Ⅰ）第3组的频率为；第4组的频率为；第5组的频率为……………………3分（Ⅱ）由题知，第3，4，5组抽取的学生数学分别为3，2，1，∴取0，1，2.……………………………………………………………4分因为，，，所以，的分布列为：……………………………………………12-10-分（18）（本小题满分12分）如图，在矩形中，，、分别为边、的中点，现将沿折起，得四棱锥．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若平面平面，求二面角的余弦值．【命题意图】本题考查空间线面位置关系、二面角等有关知识，考查学生空间想象能力，中等题.解：（Ⅰ）如图：取线段的中点，连结.因为为边的中点，得，且，在折叠前，四边形为矩形，因为为边的中点，所以，且所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又平面，平面.∴平面.………………………………6分（Ⅱ）方法（一）：由已知条件可知，是等腰直角三角形，且，.∵平面平面，平面平面，∴取的中点，连结，则，根据两个平面垂直的性质定理，得平面.过作交于点，连结，根据三垂线定理得，，所以就是二面角的平面角，易求得，,，所以.即所求二面角的余弦值为……………12分方法（二）:由已知条件，易知，所以取的中点，连结，则.又由方法（一）所证，平面-10-，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.设平面的法向量为，则，得，又因为面的法向量为，所以，所以二面角的余弦值为.………………………12分（19）（本小题满分12分）在等差数列中，为其前项和，已知，.数列满足，.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查学生运算能力、推理能力、分析问题的能力，中等题.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则解得∴…………………………………………………………3分又∵，∴数列是公比为2的等比数列.由得：，∴……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），∴①②①－②得：…………………9分∴………12分（20）（本小题满分13分）-10-椭圆的方程为，、分别是它的左、右焦点，已知椭圆过点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，直线的方程为，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；（Ⅲ）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与交于点，，．求证：．【命题意图】本题考查椭圆的相关知识，考查学生运算能力、分析问题的能力，较难题.解：（Ⅰ）……………………4分-10-（Ⅱ）设，则直线、的方程分别为，，将分别代入可求得两点的坐标分别为，.由（Ⅰ），,所以，又∵点在椭圆上，∴，∴.……………………8分（Ⅲ）设，,，由得所以，代入椭圆方程得①同理由得②①－②消去，得，所以．…………13分（21）（本题满分14分）已知函数，，（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（Ⅲ）若存在，使成立，求实数的最小值.【命题意图】本题考查导数、单调区间的求法及应用、不等式中存在成立问题中的参数范围求法，考查学生运算能力、推理思维能力和解决具体问题的能力，较难题.解：（Ⅰ）∵的定义域为，，…………2分∴当时，∴函数的单调递减区间为和.……………………………4分-10-（Ⅱ）∵在上单调递减，∴恒成立，即恒成立，…………………………6分设，∵，∴当时，∴………………………………8分（Ⅲ）由题意知，，∴只需存在使，由（Ⅱ）知，∴只需存在，使，即∴，………………………………10分设，则∵，，，∴ ∴在上单调递减，∴∴实数的最小值为．…………………………………………14分-10-
