2022-2022学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷一、本卷共13小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则∁UA等于()A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x≥2}2．已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=()A．123B．105C．95D．233．淮北市文明创建活动正在轰轰烈烈的开展，第三方评估机构拟了解我市中小学生“社会主义核心价值观”掌握情况，已知不同学段学生掌握情况有差异，现从中小学生中抽取部分学生进行调查，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=()A．﹣B．0C．3D．5．设a，b，c∈R，且a＞b，则()A．ac＞bcB．C．a2＞b2D．a3＞b36．设a，b∈R，则“a，b都等于0”的必要不充分条件为()A．B．a2+b2＞0C．ab≠0D．a+b=07．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()-18-\nA．B．C．D．8．若a＞b＞0，则a2+的最小值为()A．2B．3C．4D．59．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=()A．2B．2C．D．10．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β11．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．612．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）=x2﹣2x，若x∈时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是()A．（﹣∞，﹣1]∪（0，3]B．C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查分层抽样方法，属基本题．4．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=()-18-\nA．﹣B．0C．3D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）•=0，解出即可．【解答】解：=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5．设a，b，c∈R，且a＞b，则()A．ac＞bcB．C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．6．设a，b∈R，则“a，b都等于0”的必要不充分条件为()A．B．a2+b2＞0C．ab≠0D．a+b=0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．-18-\n【解答】解：对于A，a=b=0，故A是“a，b都等于0”充要条件，对于B，a，b至多有一个为0，即不充分也不必要，对于C：a，b都不为0，即不充分也不必要，对于D，a=b=0，或a，b都不为0，必要不充分条件故：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据定义进行判断即可，比较基础．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积．【解答】解：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体．原正三棱锥的底面边长为2，高为2，体积V1=Sh=×2=2．截去的三棱锥的高为1，体积V2=×1=故所求体积为V=V1﹣V2=故选A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键-18-\n8．若a＞b＞0，则a2+的最小值为()A．2B．3C．4D．5【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由基本不等式可得b（a﹣b）≤，再次利用基本不等式可得a2+≥a2+≥2=4，注意两次等号同时取到即可．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴b（a﹣b）≤=，∴a2+≥a2+≥2=4，当且仅当b=a﹣b且a2=即a=且b=时取等号，∴则a2+的最小值为4，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，注意两次等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．9．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=()A．2B．2C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简整理题中的等式得sinB=sinA，从而得到b=a，可得答案．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∵sin2A+cos2A=1，-18-\n∴sinB=sinA，得b=，可得=．故选：C．【点评】本题给出三角形满足的边角关系式，求边a、b的比值．着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．10．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】阅读型；空间位置关系与距离．【分析】由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断A；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断B；由面面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质，即可判断D．【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．11．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．6【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．-18-\n【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：将圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C关于直线2ax+by+6=0对称，∴直线2ax+by+6=0过圆心，将x=﹣1，y=2代入直线方程得：﹣2a+2b+6=0，即a=b+3，∵点（a，b）与圆心的距离d=，∴点（a，b）向圆C所作切线长l====≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，最小值为4．故选C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，勾股定理，以及圆的切线方程的应用，其中得出a与b的关系式是本题的突破点．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）=x2﹣2x，若x∈时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是()A．（﹣∞，﹣1]∪（0，3]B．C．时，f（x）≥，将f（x）转化到上，得到具体的表达式，再根据不等式恒成立的解题思路，分离参数求出t的范围．【解答】解：设x∈，则x+4∈，由f（x+2）=2f（x），所以f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=f（x+4），结合x∈时，f（x）=x2﹣2x，所以f（x）≥可化为：f（x+4）≥即≤2f（x+4）=2，恒成立只需，易知当x+4=1，即x=﹣3时取得最小值﹣2．-18-\n即，解得﹣1≤t＜0或t≥3．故选C．【点评】本题考查了不等式的恒成立问题，一般是转化为函数的最值来解决，关键是能够根据f（x+2）=2f（x），将所求区间上的函数式转化到已知区间上来，得到具体的关于x的不等式恒成立，使问题获得解决．13．已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．-18-\n二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）14．命题“正方形是平行四边形”逆否命题为如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形．【考点】四种命题．【专题】应用题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据原命题“正方形是平行四边形”及四种命题的定义，我们可以写出其逆否命题．【解答】解：逆否命题为：“如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形”，故答案为：如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形【点评】本题考查的知识点是四种命题的之间的关系，属于基础题．15．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于8．【考点】等差数列的通项公式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意易得a7，进而可得b7，由等比数列的性质可得．【解答】解：设各项不为0的等差数列{an}公差为d，∵a4﹣2a72+3a8=0，∴（a7﹣3d）﹣2a72+3（a7+d）=0，解得a7=2，∴b7=a7=2，∴b2b8b11=b6b8b7=b73=8，故答案为：8．【点评】本题考查等差数列和等差数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属基础题．16．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为9．-18-\n【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到条件满足，输出n的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，s=0，a=2，s=不满足条件s≥，n=2，a=2×3，s=+不满足条件s≥，n=3，a=3×4，s=++不满足条件s≥，n=4，a=4×5，s=+++…不满足条件s≥，n=9，a=9×10，s=+++…+=+﹣+…+﹣=1﹣=满足条件s≥，退出循环，输出n的值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．17．已知，若函数f（x+m）为奇函数，则最小正数m的值为．-18-\n【考点】正切函数的图象．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用正切函数是奇函数的性质，列出方程即可求得m的取值，再求出它的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=tan（2x+），∴f（x+m）=tan（2x+2m+）；又f（x+m）是奇函数，∴2m+=kπ，k∈Z；当k=1时，m取得最小正数值为．故答案为：．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基本题目．三、解答题（共7小题，满分70分）18．已知递增数列{an}满足：a1a4=18，a2+a3=9．（1）若{an}是等差数列，求{an}通项；（2）若{an}是等比数列，求{an}前n项和Sn．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）若{an}是等差数列由a1a4=18，a2+a3=a1+a4=9，得a1和a4是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得a1=3，a4=6，由此能求出{an}通项．（2）若{an}是等比数列，由a1a4=a2a3=18，a2+a3=9，得a2和a3是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得a2=3，a3=6，由此能求出{an}前n项和Sn．【解答】解：（1）若{an}是等差数列，设公差为d，由数列{an}递增可得d＞0，∵a1a4=18，a2+a3=a1+a4=9．∴a1和a4是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得x1=3，x2=6，∵d＞0，∴a1=3，a4=6，=1，∴an=3+（n﹣1）×1=n+2．-18-\n∴{an}通项an=n+2．（2）若{an}是等比数列，设公比为q，∵a1a4=a2a3=18，a2+a3=9，∴a2和a3是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得x1=3，x2=6，∵递增数列{an}中q＞0，∴a2=3，a3=6，q===2，，∴{an}前n项和Sn==．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．19．已知函数f（x）=，其中，．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调区间；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a、b值．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．【专题】综合题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式，及两角差的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的单调区间，解不等式即可得到所求；（2）设△ABC中，由f（C）=0，可得sin（2C﹣）=1，根据C的范围求得角C的值，再利用正弦定理和余弦定理求得a、b的值．【解答】解：（1）f（x）==cosx（sinx﹣cosx）﹣1+=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x﹣1-18-\n=sin（2x﹣）﹣1，即有函数f（x）的最小正周期为T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即有增区间为，减区间为，k∈Z；（2）f（C）=0，即为sin（2C﹣）=1，由0＜C＜π，即有2C﹣=，解得C=．由sin（A+C）=2sinA，即sinB=2sinA，由正弦定理，得=2①．由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=9②，由①②解得a=，b=2．【点评】本题主要考查向量的数量积的坐标表示和三角恒等变换、正弦函数的周期性、单调性、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．20．在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD=2BC，AB=PB，E为PA的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取PD的中点F，连接EF，CF．证明BE∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明BE∥平面PCD．-18-\n（2）证明PA⊥CF，结合PA⊥PD，利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD．然后证明平面PAB⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取PD的中点F，连接EF，CF．因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF=AD，因为BC∥AD，BC=AD，所以EF∥BC，EF=BC．所以四边形BCFE为平行四边形．所以BE∥CF．…因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD．…（2）因为AB=PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．因为BE∥CF，所以PA⊥CF．…因为PA⊥PD，PD⊂平面PCD，CF⊂平面PCD，PD∩CF=F，所以PA⊥平面PCD．…因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．…（14分）．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的在与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．21．已知约束条件．（1）在如图网格线内建立坐标系，并画出可行域；（2）求目标函数z=的最值并指出取得最值时的最优解．-18-\n【考点】简单线性规划．【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据二元一次不等式组表示平面区域，进行作图即可．（2）根据方式函数的性质，结合线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：（1）不等式组对应的平面区域如图：（2）z===2+，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，CD的斜率最小，由得，即C（10，0），则CD的斜率k==，由得，即A（，），AD的斜率k==，即≤k≤，则≤k+2≤，即≤z≤．-18-\n【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质结合数形结合是解决本题的关键．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c，且．（1）求证：a＞0且；（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；二次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）根据f（1）=a+b+c=﹣，可得c=﹣a﹣b，结合3a＞2c＞2b，可得结论；（2）利用零点存在定理，证明f（0）×f（2）＜0即可；（3）|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2==（﹣）2+2≥2，由此可得结论．【解答】（1）证明：∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b，∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b；若a＞0，则；若a=0，则0＞﹣b，0＞b，不成立；若a＜0，则，不成立．（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=﹣，△=b2﹣4ac=b2+4ab+6a2＞0①当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0，所以f（x）在（0，1）上至少有一个零点②当c=0时，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点-18-\n③当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b=﹣a﹣c，f（2）=4a﹣3a﹣2c+c=a﹣c＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点综上：所以f（x）在（0，2）上至少有一个零点．（3）c=﹣a﹣b，（|x1﹣x2|）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=b2﹣4ac|a|=（+2）2+2因为﹣3＜b/a＜﹣，所以（|x1﹣x2|）2∈24．已知数列{an}满足a1+a2+…+an=an+1（n∈N*），数列{bn}为等比数列，a1=b1=2，a2=b2（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式．（Ⅱ）若对每个正整数k，在bk和bk+1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由式子求出a2，由题意求出公比，根据等比数列的通项公式求出bn，利用递推公式和累积法求出an；（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=2n，ak=2k，由已知写出c1=a1=2，c2=c3=2，c4=a2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=a3=8，…，讨论m=1、2，m≥3，求出Tm、2cm+1，列出方程并整理，讨论方程的解，从而得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，a1=2，a1+a2+…+an=an+1（n∈N*），所以a1=a2，解得a2=4，因为数列{bn}为等比数列，a1=b1=2，a2=b2，所以数列{bn}的公比是2，即bn=2•2n﹣1=2n，由a1+a2+…+an=an+1（n∈N*）得，当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=an（n∈N*），两个式子相减得，an=an+1﹣an，即，-18-\n当n=1时，=2符合上式，当n≥2时，，，，…，，以上n﹣1个式子相乘得，，所以an=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n，ak=2k，由题意知，c1=b1=2，c2=c3=2，c4=b2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=b3=8，…，则当m=1时，T1≠2c2，不合题意，当m=2时，T2=2c3，适合题意．当m≥3时，若cm+1=2，则Tm≠2cm+1一定不适合题意，从而cm+1必是数列{bn}中的某一项bk+1，则Tm=b1+2+2+b2+2+2+2+2+b3+2+…+2+b4+2+…+b5+2+…+b6+…+bk﹣1+2+…+bk，=（2+22+23+…+2k）+2（2+4+…+2k）=2×（2k﹣1）+k（2+2k）=2k+1+2k2+2k﹣2，又2cm+1=2bk+1=2×2k+1，∴2k+1+2k2+2k﹣2=2×2k+1，即2k﹣k2﹣k+1=0，∴2k+1=k2+k，∵2k+1为奇数，k2+k=k（k+1）为偶数，∴上式无解．即当m≥3时，Tm≠2cm+1，综上知，满足题意的正整数只有m=2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，累积法求出数列的通项公式，等差、等比数列的前n项和公式，数列的求和方法：分组求和，同时考查逻辑推理能力，属于综合题．-18-
