天津一中2022-2022-1高三年级第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：1.“”是“”的（A）.A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2．右图是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（C）A.B.C.D.3.若是虚数单位，则的值为（D）A．B.C．D.4.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图像的一条对称轴为（C）A．B.C.D.5.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（D）．A．B．C．D．6.若、满足约束条件，其中，则的最大值为（B)A．1 B．3 C．-3 D．57.已知正项数列{}的前n项的乘积等于Tn=()，，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是（D）-6-\nA．S6B.S5C.S4D.S38.已知函数，把函数的零点按照从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为（C）.A.B.C.D.二、填空题：9．一个几何体的三视图如所示，则这个几何体的表面积为_____.10.函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为8．11.定义是向量a和b的“向量积”，它的长度为向量和的夹角，若=.12.如图，是圆的切线，是切点，直线交圆于、两点，是的中点，连结并延长交圆于点，若，∠，则________．13.圆上的动点P到直线的最短距离为__________.14.关于实数的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.三．解答题(共6题，80分)-6-\n（15）已知向量(Ⅰ)当的值；（Ⅱ）求上的值域．（1），……………………3分…………6分（2），，………10分∴函数………………13分（16）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止时所需要的取球次数．(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；(Ⅱ)求随机变量的概率分布及数学期望；(Ⅲ)求甲取到白球的概率．(Ⅰ)设袋中原有n个白球,由题意知：，所以=12，解得n=4(舍去),即袋中原有4个白球…………………(4分)(Ⅱ)由题意,的可能取值为1，2，3，4……………………………………(5分)1234P所以，取球次数的分布列为：……………………………………(11分)(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A，-6-\n则或“=3”）,所以………(13分)（17）已知四棱锥的底面为直角梯形，AB//CD，，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点。(Ⅰ)证明：平面PAD平面PCD（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值解：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（Ⅰ）证明：因由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：因（Ⅲ）（18）各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有(Ⅰ)求常数的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）记，求数列的前项和。解：（1）由及，得：3分（2）由①得②-6-\n由②—①，得4分即：由于数列各项均为正数，即6分数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是8分（3）由，得：9分13分（19）已知函数满足，使成立的实数只有一个．(Ⅰ)求函数的表达式；（Ⅱ）若数列满足证明数列是等比数列，并求出的通项公式；（Ⅲ）在（2）的条件下，证明：解：（1）得．由只有一解，即，只有一解，，（2），，为等比数列，，，（3），（20）设函数.-6-\n（Ⅰ）若x＝时，取得极值，求的值；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；（Ⅲ）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（），（Ⅰ）因为时，取得极值，所以，即故．……………………………………………4分（Ⅱ）的定义域为.在上恒成立参数分离得：，令当且仅当时h(x)的最小值为则的取值范围是.………………………………………8分（Ⅲ）证明：，当=－1时，，其定义域是，令，得.则在处取得极大值，也是最大值.而.所以在上恒成立.因此.………………10分因为，所以.则.所以=<==.所以结论成立……14分-6-
