天津市第一中学2022届高三上学期月考（三）数学（理）试题一、选择题：1.设是虚数单位，则等于．0．.D..已知实数满足则的最大值为．．.D.3．执行如图所示的程序框图，输出的结果是．..D.4.等比数列中，，则“”是“”的A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件函数的单调减区间为A．B．-15-\nC．D．6.设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足，则该双曲线的离心率为...D.7.中，，点是边的中点，点在直线上，且，直线与相交于点，则为...D.8.已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题：9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.10.的展开式的常数项是．-15-\n11.在等差数列中，，，若此数列的前10项和，前18项和，则数列的前18项和___________．12.在极坐标系中，直线与曲线相交于、两点，若，则实数的值为.14.设函数，其中是给定的正整数，且，如果不等式在区间有解，则实数的取值范围是.-15-\n天津一中2022-2022-1高三数学（理）三月考答案一选择题1．设是虚数单位，则等于（D）A、0B、C、D、5.已知实数满足则的最大值为(C)A．4B．6C．8D．103执行如图所示的程序框图，输出的结果是(C)．..D.4等比数列中，，则“”是“”的（A）A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5函数的单调减区间为（B）-15-\nA．B．C．D．6设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足，则该双曲线的离心率为（A）...D.7中，，点是边的中点，点在直线上，且，直线与相交于点，则为(A)...D.8已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是（B ）A．B．C．D．-15-\n10的展开式的常数项是．-1211在等差数列中，，，若此数列的前10项和，前18项和，则数列的前18项和___________．12在极坐标系中，直线与曲线相交于、两点，若，则实数的值为.13如图，在和中，，，⊙是以为直径的圆,的延长线与的延长线交于点,若，，则的长为．14设函数，其中是给定的正整数，且，如果不等式-15-\n在区间有解，则实数的取值范围是.三、解答题15函数的部分图象如下图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象.(1)求函数的解析式；(2)若的三边为成单调递增等差数列，且，求的值.15【解析】-15-\n16已知甲、乙两个盒子，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，从甲、乙两盒中各取一球交换.（Ⅰ）求交换后甲盒中有2个黑球的概率；（Ⅱ）设交换后甲盒中黑球的个数为，求的分布列及数学期望.16【解析】（Ⅰ）①互换的黑球，此时甲盒子恰好有2黑球的事件记为A1，则：②互换的是红球，此时甲甲盒子恰好有2黑球记为A2，则：故甲盒中有2个黑球的概率（2）设甲盒中黑球的个数为，则：；；因而的分布列为：∴E＝×1＋×2＋×3＝17在直角梯形中，，，，如图，把沿翻折，使得平面平面．（1）求证：；（2）若点为线段中点，求点到平面的距离；（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，求出-15-\n的值；若不存在，请说明理由．（2）由（1）得平面，所以．以点为原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，利用三维空间直角坐标系即可求的点面距离，即首先求出线段MC与面ADC的法向量的夹角，再利用三角函数值即可求的点面距离.此外，该题还可以利用等体积法来求的点面距离，即三棱锥M-ADC的体积，分别以M点为顶点和以A点为定点来求解三棱锥的体积，解出高即为点面距离.-15-\n（2）解法1：因为平面，所以．以点为原点，所在的直线为轴，所在直线为轴,过点作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知，得，，，，．所以，，．……7分．设平面的法向量为，则，，所以令，得平面的一个法向量为…9分所以点到平面的距离为……10分．解法2：由已知条件可得，，所以．由（1）知平面，即为三棱锥的高，又，所以……7分．由平面得到，设点到平面的距离为，则……8分．所以，，……9分．因为点为线段中点，所以点到平面的距离为……10分．-15-\nDFByxAOE18设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．18【解析】（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．2分如图，设，其中，且满足方程，故．①由知，得；-15-\n由在上知，得．所以，化简得，解得或．6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．9分又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．12分解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为9分-15-\n，当时，上式取等号．所以的最大值为．12分19各项均为正数的数列{an}中，设，，且，．（1）设，证明数列{bn}是等比数列；（2）设，求集合．【答案】（1）详见解析，（2）（）．-15-\n20设(是自然对数的底数，)，且．（Ⅰ）求实数的值，并求函数的单调区间；（Ⅱ）设，对任意，恒有-15-\n成立．求实数的取值范围；（Ⅲ）若正实数满足，，试证明：而（当且仅当时取“=”）所以．……………………………………………………………………………9分（Ⅲ）证明：不妨设，由得：-15-
