南部中学2022-2022学年高二下期半期考试数学试题（理科B）考试时间：120分满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1.下列各数：,,,中虚数的个数是（）A．1B．2C．3D．42.曲线在点处的切线方程是（）A.B.C.D.3.复数满足，则（）A．B．C．D．4.用反证法证明命题：“关于方程最多有两个实数根”，下列假设中正确的是（ ）Ａ．只有两个实数根Ｂ．最少三个实数根Ｃ．至少有两个实数根Ｄ．少于三个实数根5.设函数的导函数为，且，则函数的单调增区间为（）A．（-）B．（）C．（）D．（）6.设函数,则（）A．为的极小值点B．为的极大值点C．的单减区间为D．恒成立7.已知，由不等式可以推出结论：=（）A．B．C．D．（第8题图）CBPDAE8.如图，正四棱锥的所有棱长相等，为的7\n中点，则异面直线与所成角的余弦值是()A．B．C．D．9.函数在的值恒为非负，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得到：，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是（）A．（，4）B．（3，6）C．（0，）D．（2，3）二、填空题（每小题5分，共25分）11.复数在复平面上对应的点的坐标是;12.函数在=1处取得极值，则的值为；第14题图13.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，成立的等式是；14.已知二面角为，，，，为线段的中点，，，则直线与平面所成角的大小为；15.下列结论：①如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直；②定义运算，复数z满足，则复数的模为；③向量，有；类比复数，有；④满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是椭圆。7\n真命题的序号是.高2022级高二下期半期考试数学试题（理科B）一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910选项BABBCDDDCC二、填空题（每小题5分，共25分）11、12、-113、或14、15、②7.第3个式子：知猜想：选D.9．由题意，，得，设，则，即所以在上单减，则，故，选C。10.由，则，所以，由得，解得，即增区间为，选C.14．过作于，连接，易知为二面角的平面角，又，所以，为等边三角形，取中点，连接，易知为直线与平面所成的角，由，，得。三、解答题（每小题12分，共48分）7\n16.(本小题满分12分)已知复数（为虚数单位）,把复数的共轭复数记作，若，求复数；16.解：………………………………………………（5分）………………………………………………（12分）第17题图17.(本小题满分12分)如图内接于圆，分别是的中点,是圆的直径，四边形为平行四边形,且平面．证明：（1）//平面;（2）平面平面；17.证明：（1）取中点，连接则////，四边形为平行四边形，故//又，………………（6分）（2）易证：，而，又，平面平面………………（12分）18.(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)求函数在区间上的最小值；18.解：（1）…（4分）由得；由得；……………（6分）7\n所以函数的单调增区间为（或），单调增区间为（或）。……………（8分）（2）由（1）可知，为在区间的极小值点，也是最小值点，故函数在区间上的最小值为……………（12分）19.(本小题满分12分)如图,四边形为矩形,且,,为的中点.(1)求点C到面PDE的距离;(2)求直线与面所成角的正弦值；(3)探究：在线段上是否存在点N,使得二面角的平面角大小为.试确定点N的位置.19.(1)几何法：连接，易得，而为直角三角形，故第19题图又，所以，，又，由，设点C到面PDE的距离为，则，得…………（4分）（2）由（1）直线与面所成角的正弦值…………（8分）（3）坐标法：建立如图所示，空间直角坐标系，设，则，7\n设为平面的法向量，则，令则又,所以为平面的一个法向量。由题意：得解得：即点在线段上距点的处。……………（12分）20.(本小题满分13分)若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．20.解：当时，，即，所以．而是正整数，所以取，…………（4分）下面用数学归纳法证明：．（1）当时，已证；……………（5分）（2）假设当时，不等式成立，即．……………（7分）则当时，有．……………（9分）因为，所以．所以当时不等式也成立．……………7\n（12分）由（1）（2）知，对一切正整数，都有；……………（13分）21.（本小题满分14分）已知函数.⑴求函数的单调区间；⑵记函数的最小值为，求取最大值时实数的值；⑶在⑵的条件下，证明：.21.解：（1）由题意，由得.………（3分）当时,；当时，.∴在单调递减，在单调递增.即在处取得极小值，且为最小值，……………（6分）（2）由（1），由得.∴在区间上单调递增，在区间上单调递减∴在处取得极大值……………（10分）（3）由（2）知，因为，所以对任意实数均有，即.令，则∴.∴.……………（14分）7
