长春市十一高中2022-2022学年度高三上学期阶段考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若复数满足：，则（）A.B.C.D.3.已知，则（）A.B.C.D.4.已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或75.已知，，，则（）A．22B．48C．D．326.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则（）A．B．C．-10-\nD．8.设，且，则（）A．B．C．D．9.曲线与直线围成的封闭图形的面积是（）A.B.C.D.10．已知为区域（）内的任意一点，当该区域的面积为时，的最大值是（）A.B.C.D.11.是椭圆：上的动点，以为切点做椭圆的切线，交圆于两点，当的面积最大时，直线的斜率（）A.B.C.D.12.如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域为（）A.B.C.D.-10-\n二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是.14.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________.15.设为等差数列，从中任取个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有个.16.给定下列四个命题：（1）若，，则；（2）是等比数列的前项和，则必有：；（3）函数的图像有对称轴；（4）是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心；其中正确命题的序号为.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分12分）在中，已知，（1）求的取值范围；（2）若边上的高，求面积的最小值.18.（本小题满分12分）设数列满足：，，，（1）设，求证：为等差数列；-10-\n（2）设，且的前项和为，证明：.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，，点为中点，平面平面.（1）求异面直线和所成角的余弦值；（2）求二面角的大小.20.（本小题满分12分）已知曲线的图形如图所示，其上半部分是半椭圆，下半部分是半圆，（），半椭圆内切于矩形，且交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大.（1）求曲线的方程；（2）连接分别交于，求证：是定值.-10-\n21.（本小题满分12分）设函数，（1）证明：是上的增函数；（2）设，当时，恒成立，求的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点.（1）求证：；（2）求的值.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（是参数，是常数）（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若与有两个不同的公共点，求的取值范围.-10-\n24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知：（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且，求的取值范围.体验探究合作展示长春市十一高中2022-2022学年度高三上学期阶段（12月）考试数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）题号123456789101112答案BDBCABCADDCD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.且14.15.16.①②三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）在中，，……..2分,由，都是锐角，所以，当时……5分有最小值，故……..6分（2）设，则，……….8分所以，即：，且，……分10所以：，当时“等号”成立面积的最小值为………..12分18.解析：（1）由条件知：时，，所以：………….3分-10-\n由于，即：，故是首项为，公差的等差数列…………5分（2）由（1）知：，………….6分所以：…………8分所以：………….12分19.解析：_O_M_D_C_B_A_z_y_x_P解：取的中点，连接，为等边三角形，，又平面平面，……2分以为原点，过点垂直的直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.，不妨设,依题意可得：………3分（1）,从而,………5分于是异面直线和所成角的余弦值为………….6分（2）因为，所以是平面的法向量，……….8分设平面的法向量为，又，由即，令得………….10分-10-\n于是………….11分从而二面角的大小为.……………12分20.解析（1）已知点在半圆上，所以，……………2分当半圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，此时的面积最大.所以，由于，所以，由，所以…………4分曲线C的方程为：或………5分（2），设，则有：：，令，，所以：同理：………8分所以：，又由，得，代入上式得-10-\n………12分所以为定值21.解：若证明是上的增函数，只需证明在恒成立，即：-------4分设，所以：在上递减，上递增，最小值故：，所以：是上的增函数.------6分（2）由得：在上恒成立，------------8分设,则，所以在递增，递减，递增------------9分所以的最小值为中较小的，，所以：，即：在的最小值为，--------11分只需-------12分22.解：（1）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得………………2分另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得………………4分故………………5分（2）连结，∵BC为圆O直径，∴在RT△EBC中，有……………7分又在中，由射影定理得……………10分23.解：（1）由极直互化公式得，所以；---------------2分-10-\n消去参数得的方程：----------------------4分（2）由（1）知是双曲线，是直线，把直线方程代入双曲线方程消去得：，-------------------------7分若直线和双曲线有两个不同的公共点，则，解得：-----------10分24.解：（1），所以，若，只需，即：---------------------5分（2）由于，所以，，又，所以，这样，所以---------------------10分-10-
