北京市重点中学2022届高三数学下学期开学检测试卷 理

北京市重点中学2022届高三数学下学期开学检测试卷理（考试时间120分钟满分150分）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A．B．C．D．2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A.B.C.D.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同B．，中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为A．B．C．D．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类-19-\n节目不相邻的排法种数是A．B．C．D．7.的外接圆的圆心为，，，则等于A．B．C．D．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是.某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A．处B．段公路旁的任一处C．处D．段公路旁的任一处第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是.B10.如图,已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点,且，∶∶∶∶.若与该圆相切，则线段的长为.11.右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为；-19-\n表面积为.12.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是.13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为.14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求及的值.16．（本小题13分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次.在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分.如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次.某-19-\n同学在A处的投中率为0.25，在B处的投中率为.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.17．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.　(Ⅰ)求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.18．（本小题13分）已知函数，-19-\n（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III）当时，证明：19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.-19-\n（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），证明：（1）；（2）.2022—2022学年度第二学期3月月考高三数学（理）试卷答案（考试时间120分钟满分150分）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A．B．C．D．解：，选B.2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A.B.C.D.解：令，得展开式中各项系数之和为.解方程，得.故该展开式中含项为，其系数为，选A.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同B．，中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，解：D．-19-\n4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．解：将函数的图象向右平移个单位，得，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得，令，得，（）故的最小正值为，选B．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为A．B．C．D．解法一：设横坐标为，则由，得，，选A．解法二：当右顶点时，.选A．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A．B．C．D．解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.-19-\n（1）小品1，相声，小品2.（2）小品1，小品2，相声.（3）相声，小品1，小品2.共有种，选B．7.的外接圆的圆心为，，，则等于A．B．C．D．解：C．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是.某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A．处B．段公路旁的任一处C．处D．段公路旁的任一处解：D．第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是.解：B10.如图,已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点,且，∶∶∶∶.若与该圆相切，则线段的长为.-19-\n解：设，则，.则由相交弦定理，得，即，即.由切割线定理，得，所以.11.右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为；表面积为.解：体积为；表面积为.12.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是.解：13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为.解：由，得，，，.由的面积为，得，.故，，.当且仅当时，等号成立，的最小值为.-19-\n14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求及的值.解：（Ⅰ）…2分=………………………3分最小正周期为………………………4分由成等差数列得：，……………………………………9分由，得，……………………………………10分………………………………………………11分由余弦定理得，，于是，，………………………………………………13分16．（本小题13分）-19-\n在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次.在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分.如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次.某同学在A处的投中率为0.25，在B处的投中率为.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.解：（Ⅰ）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B.则事件A,B相互独立，且，，，.根据分布列知：=0时，，所以，.…2分（Ⅱ）当=2时，().…4分当=3时，.…6分当=4时，.…8分当=5时，-19-\n.…10分所以随机变量的分布列为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴随机变量的数学期望.…11分（Ⅲ）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为.…13分该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为.…14分由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.…14分17．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.　(Ⅰ)求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.-19-\nACDEFM(Ⅰ)证明：取中点为，连.……1分∵是的中点∴是的中位线,∴.∵是中点且是菱形，∴,∴.∴∴四边形是平行四边形.从而.……3分∵平面,平面,∴∥平面………………………………4分………………………………8分∵平面∴平面⊥平面.………………………………9分说明：(Ⅰ)、（Ⅱ）也可用向量法证.……10分BACDEPFzxy由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一个法向量…11分设平面的一个法向量为由,且由在以上二式中令，则得，，-19-\n∴.……12分设平面与平面所成锐角为故平面与平面所成的锐角为.…………………………………14分18．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III）当时，证明：解：（Ⅰ）在上恒成立，…2分设，令…3分得得.…4分（Ⅱ）（），.①当时，因，故在上单调递减，，（舍去）.…5分②当时，即时，-19-\n因在上，；在上，.故在上单调递减，在上单调递增.，，满足条件.…7分①当时，即时，因，故在上单调递减，，（舍去）.…8分综上，存在实数，使得当时有最小值.（III）令，由（Ⅱ）知，.…9分令，，…10分当时，因，故在上单调递增.…11分∴…12分即…13分19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；-19-\n（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（），将点和点代入，得，解得.故椭圆的标准方程为.（Ⅱ）圆的标准方程为，设，，则直线的方程为，直线的方程为，再设直线上的动点（），由点在直线和上，得，故直线的方程为.原点到直线的距离，-19-\n.，显然.设，，则，...设（），则.设（），则.设，则，故在上为增函数，于是的值域为，的取值范围是.-19-\n20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），求证：（1）；（2）.（Ⅰ）解：为一个单调递增的“阶非凡数列”；为一个单调递减的“阶非凡数列”.（Ⅱ）解：设公差为，由，得，，，于是.由，知.（1）由题设得，，.代入中，得.故（，）（2）由题设得，，.-19-\n代入中，得.故（，）（Ⅲ）（1）证明：当时，，命题成立；当时，由，得，于是，，故.综上，得（）.（2）证明：.-19-