北京市西城区2022—2022学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟题号一二三本卷总分171819202122分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.双曲线的实轴长为（）A.B.C.D.2.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.3.已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4.命题“，如果，则”的否命题为（）A.，如果，则B.，如果，则C.，如果，则D.，如果，则5.已知椭圆长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.-10-\n6.已知直线和直线平行，则实数的值为（）A.B.C.和D.7.“”是“圆与圆相切”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10cm24cm8.如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）A.10cmB.7.2cmC.3.6cmD.2.4cmABCDEF9.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A.与成角B.与成角C.与成角D.与成角A1BPDACB1C1D1QMN10.如图，在边长为的正方体中，分别为棱,的中点，分别为面和上的点.一质点从点射向点，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点，再经平面反射，恰好反射至点.则三条线段的长度之和为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.-10-\n11.命题“”的否定是_______________.12.空间向量，，，且.正（主）视图侧（左）视图俯视图则_______.13.右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为_______.14.已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_______.15.由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为.16.已知点和点，直线，的斜率乘积为常数（），设点的轨迹为.给出以下几个命题：①存在非零常数，使上所有点到两点距离之和为定值；②存在非零常数，使上所有点到两点距离之和为定值；③不存在非零常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；④不存在非零常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是________.（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分）如图，四边形为矩形，AD⊥平面，，为上的点.AEBCDF（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：．18.（本小题满分13分）已知三个点，，，圆为△的外接圆.-10-\n（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆交于两点，且，求的值.19.（本小题满分14分）在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点.PABCDQ（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点.（Ⅰ）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；（Ⅱ）当△面积等于时，求直线的斜率.21.（本小题满分13分）-10-\nABCDEFG在如图所示的几何体中，四边形是矩形，,四边形是等腰梯形，，，且平面平面，.（Ⅰ）过与平行的平面与交于点.求证：为的中点；（Ⅱ）求二面角的余弦值.22.（本小题满分13分）如图，曲线是由抛物线弧:()与椭圆弧:()所围成的封闭曲线，且与有相同的焦点.xyO（Ⅰ）求椭圆弧的方程；（Ⅱ）设过点的直线与曲线交于两点，,，且()，试用表示；并求的取值范围.-10-\n北京市西城区2022—2022学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2022.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.A2.D3.C4.D5.A6.B7.A8.C9.C10.A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.12.13.14.15.16.②④注:16题，仅选出②或④得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17.（本小题满分13分）AEBCDF（Ⅰ）证明：因为四边形为矩形，所以.………………2分又因为平面，平面，………………4分所以平面.………………5分（Ⅱ）证明：因为平面，，所以平面，则.………………7分又因为，所以.………………9分所以平面.………………11分又平面,所以.………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）设圆的方程为,………………1分因为点，，在圆上，则………………4分解得，，.………………6分所以外接圆的方程为.………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）圆的圆心为，半径为.-10-\n又，所以圆的圆心到直线的距离为.………………9分所以，………………11分解得..………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为平面，所以，又，如图，建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系.………………2分PABCDQxyz由已知，，，.所以，，，，,………………4分又为中点，所以.所以，，所以，………………6分所以.………………7分（注：若第一问不用空间向量，则第一问4分）（Ⅱ）解：设平面的法向量为，则,.又，所以，………………9分令，得，所以.………………11分因此，………………13分所以直线与平面所成角的正弦值为.………………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当直线的斜率为时，直线的方程为.………………1分由得，………………2分设，，.则，………………3分所以点的坐标，，………………4分-10-\n所以.………………5分（Ⅱ）设直线，由得，………………6分所以………………7分，.………………8分.………………10分原点到直线的距离.………………11分所以△面积为.因为△面积等于，所以，………………12分解得，………………13分带入判别式检验，符合题意，所以.………………14分21.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：连接交于点，为矩形，则为中点，连接.………………1分因为平面，平面平面，………………2分所以.………………3分所以为的中点.………………4分（Ⅱ）解：在平面上作，垂足为，由于平面为等腰梯形，所以，因为且平面平面，所以平面，………………5分在平面中，作，交于，-10-\n所以，如图，以为原点建立空间直角坐标系.………………6分则，，，.设（）.因为，所以，即，所以，解得.………………7分设平面的法向量为，ABCDEFGOxyzHM而，，由得令，解得，.所以.………………9分由于,,所以，，又，所以平面，所以为平面的法向量，………………11分.………………12分由图知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.………………13分22.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线弧:的焦点为，且时，，所以为椭圆上一点，又椭圆的焦点为，………………2分所以.………………3分所以，，………………4分所以椭圆的方程为（）.………………5分（Ⅱ）曲线由两部分曲线和组成，所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类，由曲线的对称性,不妨设在轴上方(或轴上).当时，，此时,；-10-\n当时，在椭圆弧上，由题设知，将点坐标代入得，，整理得，解得或(舍去).………………6分当时，在抛物线弧上，由抛物线定义可得，所以，………………7分综上，当时，；当时，.相应地，，当时，在抛物线弧上，所以，，………………8分当时，在椭圆弧上，根据图形的对称性，.………………9分所以，当时在抛物线弧上,在椭圆弧上，；………………10分当时在椭圆弧上,在抛物线弧上，；………………11分当时、在椭圆弧上，；………………12分综上，的取值范围是.………………13分-10-
