北京市西城区2022—2022学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟题号一二三本卷总分171819202122分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.圆的圆心为（）A.B.C.D.2.椭圆的离心率为（）A.B.C.D.3.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.4.已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若则B.若，，则C.若，，则D.若，，则-10-\n5.命题“，如果，则”的否命题为（）A.，如果，则B.，如果，则C.，如果，则D.，如果，则6.圆与圆的位置关系是（）A.相离B.外切C.内切D.相交7.“四边形为菱形”是“四边形中”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知直线和直线平行，则实数的值为（）A.B.C.和D.10cm24cm9.如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）A.10cmB.7.2cmC.3.6cmD.2.4cm10.如图，在边长为的正方体中，为棱的中点，为面上的点.一质点从点射向点，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点.则线段与线段的长度和为（）A1BPDACB1C1D1MA.B.C.D.-10-\n二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11.抛物线的准线方程为_______________.12.命题“”的否定是_____________________.正（主）视图侧（左）视图俯视图13.右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为_______.14.圆心在直线上，且与轴相切于点的圆的方程为____________________.15.已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为__________.12mm24mm16.“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度.降水量以为单位.为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥.雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分）如图，四边形为矩形，平面，，为上的点.AEBCDF（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：．-10-\n18.（本小题满分13分）已知△三个顶点的坐标分别为，，.（Ⅰ）求△中边上的高线所在直线的方程；（Ⅱ）求△外接圆的方程.19.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱中，，为中点.ABCEA1B1C1（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面.20.（本小题满分13分）如图，是椭圆的两个顶点，过点的直线与椭圆交于另一点.（Ⅰ）当的斜率为时，求线段的长；（Ⅱ）设是的中点，且以为直径的圆恰过点.求直线的斜率.xyOABCD-10-\n21.（本小题满分13分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面平面，且，，为中点.（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面；PABCDEM·（Ⅲ）设是线段上一点，且满足，试在线段上确定一点，使得平面，并求出的长.22.（本小题满分14分）已知是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴交于点.（Ⅰ）若直线经过抛物线的焦点，求两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点的坐标为，弦的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.-10-\n北京市西城区2022—2022学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2022.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.B3.D4.C5.D6.D7.A8.A9.C10.C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.12.13.14.15.16.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17.（本小题满分13分）AEBCDF（Ⅰ）证明：因为四边形为矩形，所以.………………2分又因为平面，平面，………………4分所以平面.………………5分（Ⅱ）证明：因为平面，，所以平面，则.………………7分又因为，所以.………………9分所以平面.………………11分又平面，………………12分所以.………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，，所以直线的斜率为，………………2分又边上的高所在的直线经过点，且与垂直，所以所求直线斜率为，………………4分所求方程为，即.………………5分（Ⅱ）设△外接圆的方程为,………………6分-10-\n因为点，，在圆上，则………………9分解得，，.………………12分所以△外接圆的方程为.………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结，与交于点，连结.………………1分ABCEA1B1C1F因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形，点是中点.………………3分又为中点，所以.…………5分因为平面，平面，所以平面.………………7分（Ⅱ）证明：因为，为中点，所以.………………9分又因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，从而.………………11分所以平面.………………12分因为平面，………………13分所以平面平面.………………14分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，直线的方程为.………………1分由得，………………2分解得或（舍），………………3分所以点的坐标为，………………4分-10-\n所以.………………5分（Ⅱ）依题意，设直线的方程为，.由得，………………7分解得或（舍），………………8分所以点的横坐标为，设点的坐标为，则，………………9分，………………10分因为以为直径的圆恰过点，所以，即.………………11分整理得，………………12分所以.………………13分21.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，可知，△是等腰直角三角形，.………………1分因为平面平面，底面为矩形，，所以平面.………………2分三棱锥的体积.………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，平面，所以.因为，即，PABCDEM·FN所以平面.………………5分因为平面，所以.………………6分因为，为中点，所以，………………7分因为，所以平面.………………8分-10-\n（Ⅲ）解：在面上，过作交于.在面上，过作交于，连结.………………9分因为，平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面.所以平面平面.………………10分从而，平面.………………11分由所作可知，△为等腰直角三角形，，所以，.………………12分△,△均为等腰直角三角形，所以，.所以为线段上靠近点的三等分点，且.………………13分22.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，………………1分依题意，设直线方程为，其中.………………2分将代入直线方程，得，整理得，………………4分所以，即两点的纵坐标之积为.………………5分（Ⅱ）设，，.由得.………………6分由，得.………………7分所以，.………………8分设中点坐标为，则，，………………9分所以弦的垂直平分线方程为，令，得.………………10分-10-\n由已知，即.………………11分……………12分当，即时，的最大值为.………………13分当时，；当时，.均符合题意.所以弦的长度存在最大值，其最大值为.………………14分-10-
