北京市石景山区2022届高三数学上学期期末考试试卷理本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则()A.B.C.D.2．下列函数中，在上单调递减的是（）A.B.C.D.开始k=0S=100S>0k＝k＋1S=S－2k是输出k结束否3．点与圆的位置关系是（）A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.与的值有关4.某程序框图如右图所示，该程序运行输出的值是（）A.4B.5C.6D.75．以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．如果实数满足不等式组目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（）-11-\nA.1B.2C.3D.47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A.B.C.D.8.函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则()A.6B.8C.10D.12xxyy-1O1-2-1O121-1-11图1图2-11-\n第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数,,则．10.为等差数列，，公差，、、成等比数列，则．ADBEC11．如图，在边长为2的菱形中，为中点，则．12.若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为．AB13.A,B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有种（用数字作答）．14.设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集．①集合为封闭集；②集合为封闭集；③若集合为封闭集，则为封闭集；④若为封闭集，则一定有.其中正确结论的序号是____________.-11-\n三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）DACBE如图所示，在四边形中，，，；为边上一点，，，.（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．16．（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.17．（本小题共14分）ABCDPQM如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若点在线段上，且满足,求证：平面；（Ⅲ）若,求二面角的大小.18.（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；-11-\n（Ⅱ）求函数的单调区间.19.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数的取值范围.20．（本小题共13分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．（Ⅰ）判断是否具有性质；（Ⅱ）若，且具有性质，求的值；（Ⅲ）若具有性质，求证：，且当时，．-11-\n石景山区2022—2022学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BDADBBDC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【12题只答一种情况得3分】题号91011121314答案4029110②④三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）设.在中，由余弦定理，得…………………2分得CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．…………………4分在中，由正弦定理，得…………………6分（Ⅱ）由题设知，所以…………………8分而，所以.………………11分在中，.…………………13分-11-\n16．（本小题共13分）（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件，依题意有.…………………3分（Ⅱ）该考生所得分数为，则的所有可能取值为.……4分，……6分，……8分……10分……12分分布列为：……………………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）,………………2分且………………4分（Ⅱ）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，所以且；取CD的四等分点H，使DH=3CH，且AQ=3QC,所以,且，所以，四边形为平行四边形，所以，且,所以PQ//面BDC.……………………9分-11-\n(III)如图建系,则,,,……………………10分设面的法向量,,即令,则设面的法向量……………………11分即令,则……………………12分所以二面角的大小为…………………14分ABCDPQMyzxABCDPQMOH-11-\n18.（本小题共13分）（Ⅰ）函数的定义域为.………………1分.………………3分因为是函数的极值点，所以.…………5分解得或.经检验，或时，是函数的极值点.……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.由，令，解得.……9分当时，的变化情况如下表+0-↗极大值↘∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是；…………11分当时，的变化情况如下表+0-↗极大值↘∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.…13分-11-\n19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知，解得，椭圆的标准方程为：.………………4分（Ⅱ）设联立，消去，得：……6分依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，----①，由（*）式，-------②，可得----③，………………8分由①②③，，………………10分由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即..…12分即，整理得.解得：.………………14分-11-\n20．（本小题共13分）（Ⅰ）具有性质.……2分（Ⅱ）选取，Y中与垂直的元素必有形式.所以，从而……5分（III）证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为是X中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，故.……8分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则,异号，从而,之中恰有一个为.……10分若，则，显然矛盾；若，则，矛盾.所以.……13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】 -11-
