北京市石景山区2022届高三数学上学期期末考试试卷文本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合,,,则（）A.B.C.D.2．下列函数中，在上单调递增，并且是偶函数的是（）A.B.C.D.3．已知向量，则（）A.B.C.D.A≤5是否开始A=1，B=1A=A+1B=2B+1输出B结束4．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A.B.C.D.5．设为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．函数的零点所在的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）7．若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A.条B.条C.条D.条APFDBEC8．某同学为了研究函数-9-\n的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么可推知方程解的个数是（）A.B.C.D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.若复数,,则.10．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为．11．在中，角所对的边分别为，已知，，，则____________．12．如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为．13．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则；若点，则的最小值为.14.将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）-9-\n设数列满足:,,.(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和；(Ⅱ)已知数列是等差数列,为的前项和,且,,求的最大值.16．（本小题共13分）已知函数的部分图象如图所示.xyO1（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.17．（本小题共14分）EABCDB1A1D1C1F如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）证明：//平面；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体的体积.18．（本小题共13分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：-9-\n分组频数频率第1组[60,70)M0.26第2组[70,80)15p第3组[80,90)200.40第4组[90,100]Nq合计5010.0080.0160.0240.0320.04070608090100分数0.0120.0200.0280.0360.004（Ⅰ）写出M、N、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程.20.（本小题共13分）已知函数，为其导函数，且时有极小值．（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：）-9-\n石景山区2022—2022学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CADABBCA二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案(13题、14题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）由已知，是首项为1，公比为3的等比数列，………………………2分所以，………………………4分所以.………………………………………6分(Ⅱ),………………………………………8分,………………………………………10分当时，有最大值49.……………………………13分-9-\n16．（本小题共13分）（Ⅰ）…………………………2分因为点在函数图象上，得.由可得，即.………………………………………………4分因为点在函数图象上，.故函数的解析式为……………………6分（Ⅱ）因为，所以.……………9分当时，即时，的最小值为；…………………11分当时，即时，的最大值为.………………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明:因为为正方体，所以面；因为面，所以．…………2分又因为，，所以面因为面,所以平面面.…………5分-9-\nEFABCDB1A1D1C1（Ⅱ）连接,//，且，设，则//且,所以//且，所以四边形为平行四边形.所以//.…………9分又因为，．所以//面…………11分（Ⅲ）…………………14分18．（本小题共13分）（Ⅰ）M=13，N=2，p=0.30，q=0.04，…………………2分0.0080.0160.0240.0320.04070608090100分数0.0120.0200.0280.0360.004………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为（人）……6分（Ⅲ）记获一等奖的6人为，其中为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，………10分-9-\n女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:，，，，，，，，………12分所以恰有1名女生接受采访的概率.………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知,…………………1分解得…………………3分故椭圆方程为．…………………4分（Ⅱ）设当k不存在时，直线方程为，不符合题意．…………………5分当k存在时，设直线方程为，联立，消去，得：，……………6分由题意，点在椭圆内部，必有两个交点，方程必有实根．（或计算）…7分…………………8分若，则，…………………9分代入上式，可得，消去，解得.…………………13分所求直线方程为．…………………14分20．（本小题共13分）-9-\n（Ⅰ）由，因为函数在时有极小值，所以，从而得，………………2分所求的，所以，由解得，所以的单调递减区间为.………………4分（Ⅱ）因为，所以等价于，即，……………6分记，则，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，……………8分对任意正实数恒成立，等价于，即.……………10分记，则，所以在上单调递减，又，所以的最大值为．……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】 -9-
