内蒙古杭锦后旗奋斗中学2022—2022学年高二9月质量检测考试数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题：共10题每题5分共50分1、设、是两个非空集合，定义且，已知，，则（）A、B、C、D、2．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x-y＋2＝0，则f′(1)＝A.4B.-4C.-2D.23、已知函数的定义域为，则在同一坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为（）A）0个B）1个C）2个D）0个或多个4．若M(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( )A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=05．已知tan()=，tan()=，那么tan()=A.B.C.D.6．已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1，设平面区域，若圆心C,且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为A.5B.29C.37D.497．已知圆与圆，则两圆的公共弦长为A.B.C.D.1-11-8．函数f(x)=Asin()的部分图象如图所示，若x1,x2∈()，且f(x1)=f(x2)(x1x2)，则f(x1+x2)=A.1B.C.D.9．经过直线和的交点，并且过原点的直线方程为A.B.C.D.10．偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，且在［0,1］时，f(x)=，若直线kx-y+k=0(k＞0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是A.()B.()C.()D.()第II卷（非选择题）二、填空题：共5题每题5分共25分11．已知点A(﹣2，4)，B(4，2)，直线l:ax-y+8-a=0，若直线l与直线AB平行，则a= _________ .12．已知△ABC的周长为+1,且sinA+sinB=sinC,BC·AC=,则·= . 13．已知变量x,y满足约束条件，若z=kx+y的最大值为5，则实数k= .14．已知圆C:x2+y2-6x-8yhttp://www.wln1)00.com未来@脑教学云平#台!=0，a1,a2,…,a11是该圆过点P(3，5)的11条弦的长度，若数列a1,a2,…,a11是等差数列，则数列a1,a2,…,a11的公差的最大值为 .-11-15．已知圆M:，直线l:y=kx，给出下面四个命题：①对任意实数k和，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切；③对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；④存在实数k与，使得圆M上有一点到直线l的距离为3.其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)三、解答题：共6题每题12分共72分16．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsina.(1)求B的大小；(2)求cosA+sinC的取值范围.17．已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.18．三角形的三个顶点是A(4,0),B(2，4)，C(0，3).(1)求AB边的中线所在直线l1的方程；(2)求BC边的高所在直线l2的方程；(3)求直线l1http://www#.wln100.com未来脑教学云平台+?与直线l2的交点坐标.19．如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.-11-20．已知函数集合M=，集合N=.(1)求集合MN对应区域的面积;(2)若点P(a,b)∈MN，求的取值范围.21．已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F,过点F的动直线与双曲线相交于A,B两点,点C的坐标是(1,0).(1)求证:·为常数;(2)若动点M满足=++(O为坐标原点),求点M的轨迹方程.参考答案1.A2.D【解析】由导数的几何意义知 ，故选D.3.B 4.A【解析】本题主要考查圆的有关知识.设圆心为C(1,0),则AB⊥CM,kCM=-1,∴kAB=1,∴直线AB的方程为y-(-1)=1·(x-2),即x-y-3=0,故选A.【备注】无 5.C【解析】本题考查三角函数的化简与求值..【备注】三角函数的求值运算,要注意角的拼凑,这样可以更加直接的使用公式. 6.C-11-【解析】本题考查线性规划的应用.作出平面区域如下图阴影部分所示；因为圆心，且圆与x轴相切，故；由图形可知，当时，有最大值，最大值为37，故选C.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查圆圆的位置关系.依题意，圆与圆作差可知公共弦所在直线为y=-1,利用圆与y=-1相交，可知公共弦长为,故选B.【备注】无 8.D【解析】本题考查三角函数的图像与性质.由条件可知A=1,最小正周期为,故,由可得,故,由条件可得,代入可得f(x1+x2)=.【备注】无 9.C-11-【解析】本题考查了直线系方程的应用.过直线和的交点的直线系方程是又因为所求直线过原点，所以把代入上述直线系方程，求得，再代入中，化简得.即为所求.【备注】无 10.A【解析】本题考查函数的图像与性质、直线与圆的位置关系.由，得到函数关于对称，因为是偶函数，所以,即,所以函数的周期是2．由,得,作出函数和直线y=k(x+1)的图象，当直线kx-y+k=0(k＞0)与圆相切时,由可得;当直线kx-y+k=0(k＞0)与圆相切时,由可得要使直线kx-y+k=0(k＞0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则由图象可知：．【备注】无 11.【解析】本题考查两条直线的位置关系.由条件可得直线AB的斜率为,故.-11-【备注】无 12. 【解析】本题综合考查余弦定理及平面向量的知识.由题意及正弦定理得AB+BC+AC=+1,BC+AC=AB,两式相减,得AB=1,则BC+AC=.由余弦定理的推论,得cosC===,所以·=BC·AC·cosC=×=.【备注】无 13.－1或【解析】本题考查线性规划的应用.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为z=kx+y的最大值为5,即y=－kx+z在y轴上的截距为5.当时,目标函数z=kx+y经过的交点B(－2,3)时,有5=(－2)k+3,故k=－1;当时,目标函数z=kx+y经过的交点A(4,3)时,有5=4k+3,解之得.【备注】无 14.-11-【解析】本题考查圆的方程与等差数列.因为32+52-6×3-8×5=-24<0,所以点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,因此,过(3,5)的弦中最长为10,最短为,故公差最大为.【备注】无 15.①【解析】本题考查直线与圆的位置关系.因为圆恒过原点O(0,0),直线l:y=kx也恒过原点O(0,0),所以①正确;圆心M到直线的距离为,所以,对任意实数k和,直线l与圆M相切或相交.故②③④都是错误的.【备注】无 16.(1)由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得.(2).由为锐角三角形知，，所以.由此有，所以，cosA+sinC的取值范围为.【解析】本题考查正弦定理的应用及三角函数、和差角公式及辅助角公式的应用与三角函数的性质.解题思路如下:(1)由正弦定理把已知等式化为与三角形内角有关的等式,再化简即可;(2)把所给三角函数式化为的形式,再利用三角函数的图像和性质即可解题.【备注】无 -11-17.(1)设等比数列的公比为，有，解得，所以；(2)由(1)知，有，从而.【解析】本题考查等比数列的通项公式与等差数列的求和.解题思路如下:(1)根据已知条件建立公比与首项的方程组即可;(2)先求出bn的通项公式,再利用等差数列的求和公式即可.【备注】无 18.(1)线段AB的中点为(3,2),则AB直线l1的斜率为,则l1的方程为,即;(2)直线BC的斜率为,故直线l2的斜率为－2,故l2的为,即;(3)由解之得,即直线l1与直线l2的交点坐标为.【解析】本题考查直线方程的求解、两直线的垂直关系与直线交点的求解.解题思路如下:(1)先求出AB中点,再求出直线l1的斜率即可;(2)先求出直线BC的斜率,再有互相垂直直线的斜率关系,再求出斜率,进而求出方程;(3)把两直线方程联立,解方程组即可求出交点坐标.【备注】无 19.(1)设圆心E(0，b)，由EB=EC得b=1，所以圆的方程(2)设P(x，y),则M(2x-5,2y-2)，带入，化简得【解析】本题考查圆的方程的求解,轨迹方程的求解.这类问题常见命题形式有:①根据所给条件求出圆的方程;②根据圆的方程求圆的半径或圆心.-11-【备注】无 20.(1)集合M即为： ，集合N即为： ，其对应图形面积等于半圆面积.(2)即点P与(3,0)连线的斜率，由图可知，当直线经过点A(1，1)时，斜率最小为，当直线与圆相切于点B时，斜率有最大值，所以的取值范围是[ ,]【解析】本题考查线性规划的应用、数形结合法的应用.这类题目常见的命题形式有:①根据不等式组判断平面区域的形状;②根据不等式组求平面区域的面积;③根据条件求目标函数的最值或取值范围;④简单的应用问题.【备注】无 21.证明:由条件知F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)当AB与x轴垂直时,可知点A,B的坐标分别为(2,),(2,-),此时·=(1,)·(1,-)=-1.当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1),代入x2-y2=2,有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0.则x1,x2是上述方程的两个实根,所以x1+x2=,x1x2=,-11-于是·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)·(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1=-+4k2+1=(-4k2-2)+4k2+1=-1.综上所述,·为常数-1.(2)设M(x,y),则=(x-1,y),=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(-1,0),由=++得,即, ①当AB不与x轴垂直时,由(1)有x1+x2=. ②y1+y2=k(x1+x2-4)=k(-4)=. ③由①、②、③得x+2=. ④y=. ⑤当k≠0时,y≠0,由④、⑤得,=k,将其代入⑤有y==,整理得x2-y2=4.当k=0时,点M的坐标为(-2,0),满足上述方程.当AB与x轴垂直时,x1=x2=2,求得M(2,0),也满足上述方程.故点M的轨迹方程是x2-y2=4.【解析】解答双曲线的综合题时,应根据其几何特征,将问题熟练地转化为数量关系(如方程、函数),再结合代数方法求解,这就要求学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及方程根与系数之间的关系综合思考,重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用.【备注】无 -11-
