甘肃省兰州2022届高三上学期期中考试（数学文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A=，B={x|x2-2x-3<0}，那么A∩（CRB）为（）A．（-1，5）B．（-1，3）C．（-∞，-1）∪[3，+∞）D．[3，5]2．与函数的图象相同的函数是（）A．y=x-1B．y=C．y=|x-1|D．y=3．若曲线在点（0，b）处的切线方程是，则（）A．B．C．D．4．某个容量为的样本的频率分布直方图如右，则在区间[4,5）上的数据的频数为（）A．70B．C．30D．5．设某种产品分两道工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就出次品，则该产品的次品率是（）A．0．13B．0．03C．0．127D．0．9736．已知，，则等于（）A． B． C． D．7．已知函数的反函数为，则、（）A．0B．1C．2D．48/8\n8．函数y=的最大值是（）A．3B．4C．8D．59．设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则（）A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c10．等差数列{an}中，a1+a2+a8=10，a14+a15=50，则此数列的前15项之和是（）A．146B．180C．210D．24211．一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A．a<0B．a>0C．a<-1D．a>112．若关于x的不等式2－>|x－a|至少有一个负数解，则a的取值范围是（）A．B．（－，2）C．D．（－2，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，函数F（x）=af（x）+bg（x）+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，则F（x）在（－∞，0）上的最小值是．14．已知数列{}的前n项和（），那么数列{}的通项=．15．关于函数f（x）=4sin（2x+）（），有下列命题：①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1－x2必是的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x－）；③y=f（x）的图象关于点（－,0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=－对称．其中正确命题的序号是．16．已知函数对任意实数都满足，，则当时，函数的表达式为．三、解答题：（本大题有6小题，共70分；应按题目要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）已知函数．8/8\n（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若，求函数的值域．18．（本题10分）解关于x的不等式：（a＞0，a≠1）．19．（本题12分）已知函数是奇函数，当x>0时，有最小值2，且f（1）．（Ⅰ）试求函数的解析式；（Ⅱ）函数图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20．（本题12分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得，记．（Ⅰ）求的概率；（Ⅱ）若前两次均出现正面，求的概率．21．（本题13分）已知数列{}中，，数列中，其中．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设是数列{}的前n项和，求；（Ⅲ）设是数列的前n项和，求证：．22．（本题13分）已知函数f（x）=ax3+x2-ax，其中a，x∈R．8/8\n（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若[0，3]时，函数f（x）在处取得最小值，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DDACCACBDBCA二、填空题：（每小题5分，共20分）13．-1；14．；15．②③④；16．三、解答题：（共70分）17．（本题10分）解：（I）……………3分的最小正周期……………4分由题意得即 的单调增区间为……………7分（Ⅱ）若,则,,．……………10分18．（本题10分）8/8\n解：原不等式等价于……①……………1分①当时，①式可化为即亦即∴x>a+1………………5分②当时，①式可化为即亦即∴………………9分综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．．………………10分19．（本题12分）解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数∴f（―x）=―f（x）,…………2分当且仅当时等号成立．则……4分由得，即，解得…………6分又，……………………………………………7分（Ⅱ）设存在一点（x0，y0）在y=f（x）图象上，则关于（1，0）的对称点（，―y0）也在y=f（x）图象上，…………8分8/8\n则解得：或∴函数f（x）图象上存在两点和关于点（1，0）对称．…………………………………12分20．（本题12分）解：（Ⅰ），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为则；……………………6分（Ⅱ）6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为．则．…………12分21．（本题13分）解（Ⅰ）， 而 ， ∴ ． ∴ {}是首项为，公差为1的等差数列．…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,于是= 故有=6．………………………8分8/8\n（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知 ,则．则+…+，∴．………………………13分22．（本题13分）解：（Ⅰ）当时，．,由得,即当时，函数f（x）的单调递减区间为．…………3分（Ⅱ）解法一：依题意知方程在区间（1，2）内有不重复的零点，………5分而,由得∵x∈（1，2），∴,∴；令（x∈（1，2）），则，∴在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为，故a的取值范围是．………………………8分解法二：8/8\n依题意知方程即在区间（1，2）内有不重复的零点，当a=0时，得x=0，但0（1，2）；当a≠0时，方程的△=4+12a2>0，,必有两异号根，欲使f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，方程在（1，2）内一定有一根，设，则F（1）·F（2）<0，即（2a+2）（11a+4）<0，解得，故a的取值范围是．（解法二得分标准类比解法一）（Ⅲ）由题可知当[0，3]时，即恒成立,又[0，3],则恒成立．………………………9分记当时，在[0，3]时恒成立,符合题意；当时，由于，则不符合题意；当时，由于，则只需，得，即．………………………12分综上,．………………………13分8/8
