甘肃省兰州一中2022届高三上学期期中考试（数学理）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数，则z2=（）A．B．C．D．2．已知集合A=，B={x|x2-2x-3<0}，那么A∩(CRB)为（）A．(-1，5)B．(-1，3)C．(-∞，-1)∪[3，+∞)D．[3，5]3．与函数的图象相同的函数是（）A.y=x-1B.y=C.y=|x-1|D.y=4．若曲线在点处的切线方程是，则（）A．B．C．D．5．某个容量为的样本的频率分布直方图如右，则在区间[4,5）上的数据的频数为（）A．70B．C．30D．6．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P（ξ<4）=0．3，那么n的值为（）A．3B．4C．9D．107．函数y=的最大值是（）A．3B．4C．8D．58．设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则（）A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c9．若与在区间（1，2）上都是减函数，则实数9/9\n的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．10．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（）A．B．4C．1D．1011．一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A．a<0B．a>0C．a<-1D．a>112．数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an）=（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，函数F（x）=af（x）+bg（x）+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，则F（x）在（－∞，0）上的最小值是．14．等差数列{}中，，，则此数列的前15项之和是．15．已知数列{}的前n项和（），那么数列{}的通项=．16．若关于x的不等式2－>|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题有6小题，共70分；应按题目要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解关于x的不等式：（a＞0，a≠1）．18．（本题10分）已知函数是奇函数，当x>0时，有最小值2，且f（1）．9/9\n（Ⅰ）试求函数的解析式；（Ⅱ）函数图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．19．（本题12分）已知数列{an}中，a1=0，a2=4，且an+2-3an+1+2an=2n+1（），数列{bn}满足bn=an+1-2an．（Ⅰ）求证:数列{-}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的通项公式；（Ⅲ）求．20．（本题12分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得，记．（Ⅰ）求的概率；（Ⅱ）若前两次均出现正面，求的概率．21．（本题12分）已知函数对任意实数p、q都满足．（Ⅰ）当时，求的表达式；（Ⅱ）设求；（Ⅲ）设求证：．22．（本题14分）已知函数f（x）=ax3+x2-ax，其中a，x∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；（Ⅱ）直接写出（不需给出运算过程）函数的单调递减区间；9/9\n（Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函数，x∈[-1,b]（b>-1），在x=-1处取得最小值，试求b的最大值．参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDDACDBDDACB二、填空题：（每小题5分，共20分）13．-1；14．180；15．；16．三、解答题：（共70分）17．（本题10分）解：原不等式等价于……①……………1分①当9/9\n时，①式可化为即亦即∴x>a+1………………5分②当时，①式可化为即亦即∴………………9分综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．．………………10分18．（本题10分）解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数∴f（―x）=―f（x）即……………………1分当且仅当时等号成立．则……2分由得，即，，解得；又，9/9\n……………………………………………5分（Ⅱ）设存在一点（x0，y0）在y=f（x）图象上，则关于（1，0）的对称点（，―y0）也在y=f（x）图象上，…………6分则解得：或∴函数f（x）图象上存在两点和关于点（1，0）对称．…………………………………10分19．（本题12分）解：（Ⅰ）由an+2-3an+1+2an=2n+1得（an+2-2an+1）-（an+1-2an）=2n+1；即bn+1-bn=2n+1，而b1=a2-2a1=4，b2=b1+22=8；∴{bn+1-bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．…………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ），bn+1-bn=2n+1，b1=4，∴bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+···+（b2-b1）+b1=2n+2n-1+···+22+4=2n+1．………………………6分即an+1-2an=2n+1，∴；∴{}是首项为0，公差为1的等差数列，则，∴．………………………9分（Ⅲ）∵，∴．………………………12分20．（本题12分）解：（Ⅰ），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为则；………………………6分（Ⅱ）6次中前两次均出现正面，要使9/9\n，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为．则．………12分21．（本题12分）解：（Ⅰ）由已知得．………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知；于是=；故=6=．………………………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知： ，设则．两式相减得+…+∴．……………………12分22．（本题14分）解：（Ⅰ）解法一：9/9\n依题意知方程在区间（1，2）内有不重复的零点，由得∵x∈（1，2），∴∴；令（x∈（1，2）），则，∴在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为，故a的取值范围是．………………………5分解法二：依题意知方程即在区间（1，2）内有不重复的零点，当a=0时，得x=0，但0（1，2）；当a≠0时，方程的△=1+12a2>0，,必有两异号根，欲使f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，方程在（1，2）内一定有一根，设，则F（1）·F（2）<0，即（2a+2）（11a+4）<0，解得，故a的取值范围是．（解法二得分标准类比解法一）（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，+∞），当a≥0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；当a<0时，g（x）的单调递减区间是………………8分（Ⅲ）；9/9\n依题意在区间[-1,b]上恒成立，即①当x∈[-1,b]恒成立，当x=-1时，不等式①成立；当-1<x≤b时，不等式①可化为②令，由a∈（-∞,-1]知，的图像是开口向下的抛物线，所以，在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得，而，∴不等式②恒成立的充要条件是，即，亦即a∈（-∞,-1]；当a∈（-∞,-1]时，，∴（b>-1），即b2+b-4≤0；解得；但b>-1，∴；故b的最大值为，此时a=-1符合题意．……………14分9/9
