第一章直角三角形的边角关系本章中考演练 一、选择题1．2022·天津cos30°的值等于( )A.B.C．1D.2．2022·柳州如图1－Y－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝＝( )图1－Y－1A.B.C.D.3．2022·金华如图1－Y－2，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为( )图1－Y－2A.B.C.D.4．2022·重庆如图1－Y－3，AB是垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B9\n出发，先沿水平方向行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)，在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)( )图1－Y－3A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米二、填空题5．2022·滨州在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝________．6．2022·无锡已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于____________．7．2022·潍坊如图1－Y－4，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向上，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向上．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)图1－Y－4三、解答题8．2022·达州如图1－Y－5，在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，此时测得雕塑顶端点C的仰角为45°.则该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值)图1－Y－59\n9．2022·衢州“五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图1－Y－6①所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直行多少米才能到达桥头D处．(精确到1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)图1－Y－610．2022·聊城随着我市农产品整体品牌形象“聊·胜一筹！”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1－Y－7①.线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC＝150°，在点D处测得点A、点C的仰角分别为9°，15.6°，如图②.求保温板AC的长是多少米．(精确到0.1米．参考数据：≈1.732，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28)图1－Y－711．2022·岳阳如图1－Y－8①是某小区入口实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM＝60°.(1)求点M到地面的距离．(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：≈1.73)9\n图1－Y－812．2022·绍兴如图1－Y－9，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接．图②是图①中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm.(1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；(2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离(精确到0.1cm，参考数据：≈1.732，≈2.449)．图1－Y－99\n详解详析1．[答案]B2．[答案]A[解析]由勾股定理，得AB＝＝＝5，则sinB＝＝.3．[解析]B 在Rt△ABC中，AB＝，在Rt△ACD中，AD＝，∴AB∶AD＝∶＝.故选B.4．[解析]A 过点B作BM⊥ED交ED的延长线于点M，过点C作CN⊥DM于点N.在Rt△CDN中，∵＝＝，设CN＝4k米，DN＝3k米，∵CD＝10米，∴(3k)2＋(4k)2＝100，∴k＝2(负值已舍去)，∴CN＝8米，DN＝6米．∵四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝8米，BC＝MN＝20米，∴EM＝MN＋DN＋DE＝20＋6＋40＝66(米)．在Rt△AEM中，tan24°＝，∴0.45≈，解得AB≈21.7(米)．故选A.5．[答案][解析]如图所示：∵∠C＝90°，tanA＝，∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，则sinB＝＝＝.6．[答案]15或10[解析]作AD⊥BC交BC(或BC的延长线)于点D，(1)如图①，当AB，AC位于AD异侧时，9\n在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝ABsinB＝5，BD＝ABcosB＝5.在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD＋CD＝6，∴S△ABC＝·BC·AD＝×6×5＝15.(2)如图②，当AB，AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，AD＝5，则BC＝BD－CD＝4，∴S△ABC＝·BC·AD＝×4×5＝10.综上，△ABC的面积是15或10.7．[答案][解析]过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为N.AB＝60×1.5＝90(海里)，设PQ＝MN＝x海里，由点P在点A的东北方向上可知，∠PAQ＝45°，∴AQ＝PQ＝x海里，BQ＝(x－90)海里．在Rt△PBQ中，∠PBQ＝90°－30°＝60°，∴tan60°＝＝，解得x＝135＋45.在Rt△BMN中，∠MBN＝90°－60°＝30°，∴BM＝2MN＝2x＝2×(135＋45)＝(270＋90)海里，∴最短航行时间为＝(时)．8．解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，9\n设CD＝x米，∵∠CBD＝45°，∠BDC＝90°，∴BD＝CD＝x米，∵∠A＝30°，AD＝AB＋BD＝(4＋x)米，∴tanA＝，即＝，解得x＝2＋2，因此，该雕塑的高度为(2＋2)米．9．[解析]设BD＝x米，则可得AD的长，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，表示出CD的长度，然后根据等式，列出方程即可解决问题．解：设BD＝x米，则AD＝(200＋x)米．在Rt△ACD中，∵∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝(200＋x)米．在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，∴CD＝BD＝x米，∴200＋x＝x，∴x＝100(＋1)＝100＋100≈273.因此，小明还需沿绿道继续直行约273米才能到达桥头D处．10．[解析]过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，设AF＝x米，可得AC＝2x米，CF＝x米，在Rt△ABD中，由AB＝EF＝2米，知BD＝米，DE＝BD－BE＝(－x)米，CE＝EF＋CF＝(2＋x)米，根据tan∠CDE＝列出关于x的方程，解之可得．解：如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，则四边形ABEF是矩形，∴AB＝EF＝2米，AF＝BE.设AF＝x米，则BE＝x米．∵∠BAC＝150°，∠BAF＝90°，∴∠CAF＝60°，则AC＝＝2x米，CF＝AFtan∠CAF＝x米．在Rt△ABD中，∵AB＝2米，∠ADB＝9°，∴BD＝＝米，则DE＝BD－BE＝(－x)米，CE＝EF＋CF＝(2＋x)米．在Rt△CDE中，∵tan∠CDE＝，∴tan15.6°＝，9\n解得x≈0.7，即保温板AC的长约是0.7米．11．解：(1)如图，过点M作MN⊥AB交BA的延长线于点N.在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2米，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6米，∴NB＝ON＋OB＝0.6＋3.3＝3.9(米)．答：点M到地面的距离是3.9米．(2)货车能安全通过．取CE＝0.65米，EH＝2.55米，则HB＝3.9－2.55－0.65＝0.7(米)．过点H作GH⊥BC，交OM于点G，过点O作OP⊥GH于点P，则OP＝HB＝0.7米．∵∠GOP＝90°－60°＝30°，∴tan30°＝＝，∴GP＝OP≈≈0.404(米)，∴GH≈3.3＋0.404＝3.704(米)＞3.5米，∴货车能安全通过．12．[解析](1)由AC＝DE，AE＝CD可得四边形ACDE是平行四边形，则CA∥DE，根据两直线平行，同位角相等，可求得∠DFB的度数．(2)过点C作CG⊥AB于点G，在Rt△ACG中，∠CAB＝60°，AC＝20cm，可求得AG＝20cos60°＝10cm，CG＝20sin60°＝10cm，在Rt△BCG中，由CG＝10cm，BC＝30cm，可求得BG＝10cm，进而可求得AB的长度．解：(1)∵AC＝DE，AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴CA∥DE，∴∠DFB＝∠CAB＝85°.(2)如图，过点C作CG⊥AB于点G.在Rt△ACG中，∵∠CAB＝60°，∴AG＝20cos60°＝10cm，CG＝20sin60°＝10cm.∵BD＝40cm，CD＝10cm，∴BC＝30cm.9\n在Rt△BCG中，BG＝＝10cm，∴AB＝AG＋BG＝10＋10≈34.5(cm)．9
