第二学期期末测试卷一、选择题(每题4分，共40分)1．要使式子有意义，则a的取值范围是( )A．a≠2B．a≥0C．a＞0且a≠2D．a≥0且a≠22．已知2是关于x的方程x2－2ax＋4＝0的一个解，则a的值是( )A．1B．2C．3D．43．下列说法中不正确的是( )A．三个内角度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形B．三边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三个内角度数之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形D．三边长之比为1∶2∶的三角形是直角三角形4．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )A．9B．8C．7D．65．某班级采用小组学习制，在一次数学单元测试中，第一组成员的测试成绩(单位：分)分别为95，90，100，85，95，其中成绩为85分的同学有一道题目被老师误判，其实际成绩应为90分，那么该小组的实际成绩与之前的成绩相比，下列说法正确的是( )A．数据的中位数不变B．数据的平均数不变C．数据的众数不变D．数据的方差不变6．下列计算，正确的是( )A.＝－2B.＝2C．3－＝3D.＋＝7．若关于x的一元二次方程x2－4x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则此方程的解为( )A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝－1，x2＝－3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝1，x2＝－38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝( )A．2B．3C．4D．215
(第8题) (第9题)9．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰：半广以乘正从”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即利用三角形的三条边长来求三角形的面积，用式子可表示为S＝(其中a，b，c为三角形的三条边长，S为三角形的面积)．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为( )A.B.C.D.10．如图，在正方形ABCD的对角线BD上截取BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过点B作BH⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是( )A．AH＝DFB．S四边形EFHG＝S△DEF＋S△AGHC．∠AEF＝45°D．△ABH≌△DCF(第10题) (第13题)二、填空题(每题5分，共20分)11．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝________．12．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数值是________．13．如图，平行四边形ABCD中，AB∶BC＝3∶2，∠DAB＝60°，点E在AB上且AE∶EB＝1∶2，点F是BC中点，过点D作DP⊥AF于点P，DQ⊥CE于点Q，则DP∶DQ＝______________．14．边长为2的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，且BC＝2BF，则线段DE的长为______________．三、(每题8分，共16分)15
15．计算：2×－＋.16．解方程：x2＋4x－3＝0.四、(每题8分，共16分)17．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：(1)通过计算判断△ABC的形状；(2)在图中确定一个格点D，连接AD，CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积． (第17题)15
18．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2018年该企业投入科研经费5000万元，2020年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；(2)若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该企业投入科研经费多少万元．五、(每题10分，共20分)19．如图，把一个等腰直角三角形零件(△ABC，其中∠ACB＝90°)放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠D＝∠E＝90°，测得AD＝5cm，BE＝7cm，求该三角形零件的面积．(第19题)20．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边AB长为x米，则另一边AD的长为________米(用含x的代数式表示)；15
(2)若花圃的面积刚好为45平方米，求此时花圃的长与宽．(第20题)六、(12分)21．某校要从王同学和李同学中挑选一人参加县知识竞赛，在五次选拔测试中他们的成绩(单位：分)如下表．第1次第2次第3次第4次第5次王同学60751009075李同学70901008080根据上表解答下列问题：(1)完成下表．平均成绩/分中位数/分众数/分方差王同学807575190李同学(2)在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀，则王同学、李同学在这五次测试中的优秀率各是多少？(3)历届比赛表明，成绩达到80分以上(含80分)就很可能获奖，成绩达到90分以上(含90分)就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？请说明理由．15
七、(12分)22．如图，已知点D是△ABC的边BC的中点，直线AE∥BC，过点D作DE∥AB，分别交AE，AC于点E，F.(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；(2)如果四边形ADCE是矩形，△ABC应满足什么条件？并说明理由；(3)如果四边形ADCE是菱形，直接写出△ABC应满足的条件：__________________．(第22题)八、(14分)23．对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．(2)性质探究：如图②，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.猜想：AB2＋CD2与AD2＋BC2有什么关系？并证明你的猜想．(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．15
(第23题)15
答案一、1.D 2.B 3.A 4.B 5.A6．B 7.C8．C 点拨：在Rt△ABC中，CE为AB边上的中线，所以CE＝AB＝AE.因为CE＝5，AD＝2，所以DE＝3.因为CD为AB边上的高，所以在Rt△CDE中，由勾股定理可求得CD＝4，故选C.9．B10．B 点拨：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AD＝CD＝AB＝BC.∵BE＝BC，∴AB＝BE.又∵BG⊥AE，∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°.在Rt△ABH中，∠AHB＝90°－∠ABH＝67.5°.又∵∠AGH＝90°，∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°.在△ADE和△CDE中，DE＝DE，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD＝CD，∴△ADE≌△CDE，∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∴∠ABH＝∠DCF.在△ABH和△DCF中，∠BAH＝∠CDF，AB＝DC，∠ABH＝∠DCF，∴△ABH≌△DCF，∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°.∵∠CFD＝∠EAF＋∠AEF，∴67.5°＝22.5°＋∠AEF，∴∠AEF＝45°，故A，C，D正确；连接HE.∵BH是AE的垂直平分线，∴AG＝EG，AH＝HE，∴S△AGH＝S△HEG，∠AHG＝∠EHG＝67.5°，15
∴∠DHE＝45°.∵∠ADE＝45°，∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形．∵EF不垂直于DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四边形EFHG＝S△HEG＋S△EFH＝S△AGH＋S△EFH≠S△AGH＋S△DEF，故B错误，故选B.二、11.－212．4 点拨：∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，∴Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，则m的最大整数值是4.13．2∶ 点拨：如图，连接DE，DF，过点F作FN⊥AB交AB延长线于点N，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，根据三角形的面积和平行四边形的面积公式得S△DEC＝S△DFA＝S平行四边形ABCD，即AF×DP＝CE×DQ，∴AF×DP＝CE×DQ.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵∠DAB＝60°，∴∠CBN＝∠DAB＝60°，∴∠BFN＝∠MCB＝30°.∵AB∶BC＝3∶2，∴设AB＝3a，则BC＝2a.∵F是BC的中点，AE∶EB＝1∶2，∴BF＝a，BE＝2a，15
∴BN＝a，易知BM＝a，由勾股定理得FN＝a，CM＝a，AF＝＝a，CE＝＝2a，∴a·DP＝2a·DQ，∴DP∶DQ＝2∶.(第13题)14.或 点拨：如图①，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M，连接CE.∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE.由∠ABC＝∠AEF＝90°易得∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF，∴N是CF的中点．∵BC＝2BF，∴CN＝BC＝.易得四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，∴CN＝DM＝ME＝，∴ED＝.如图②所示，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M，连接CE.∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE.由∠ABF＝∠AEF＝90°易得∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF，15
∴FN＝CN.∵BC＝2BF，∴FC＝3，∴CN＝，∴BN＝.易得△BNE为等腰直角三角形，∴EN＝BN＝，∴BE＝.又∵BD＝＝2，∴DE＝.综上所述，DE的长为或.(第14题)三、15.解：2×－＋＝2－2＋＝2－2＋＝.16．解：原方程可化为x2＋4x＋4－7＝0，即(x＋2)2＝7，开平方，得x＋2＝±，解得x1＝－2＋，x2＝－2－.四、17.解：(1)由题意可得，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5.15
∵()2＋(2)2＝25＝52，即AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．(2)如图所示．(第17题)▱ABCD的面积为AB·AC＝×2＝10.18．解：(1)设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，根据题意得5000(1＋x)2＝7200，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．答：这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为20%.(2)7200×(1＋20%)2＝10368(万元)．答：预算2022年该企业投入科研经费10368万元．五、19.解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ACD＋∠BCE＝90°.∵∠D＝90°，∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠BCE.在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC＝BE＝7cm，∴AC＝＝＝(cm)，∴BC＝AC＝cm，∴该三角形零件的面积为××＝37(cm2)．20．解：(1)(24－3x)15
(2)由题意可得(24－3x)x＝45，解得x1＝3，x2＝5，当AB＝3米时，AD＝15米＞14米，不符合题意，舍去，当AB＝5米时，AD＝9米，符合题意．答：花圃的长为9米，宽为5米．六、21.解：(1)84；80；80；104(2)在这五次测试中，成绩比较稳定的是李同学．王同学的优秀率为×100%＝40%，李同学的优秀率为×100%＝80%.(3)选李同学参加比赛比较合适，因为李同学的优秀率高，成绩比较稳定，获奖机会大．七、22.(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD.∵点D是△ABC的边BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD.又∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形．(2)解：△ABC是等腰三角形，且AB＝AC.理由如下：∵四边形ADCE是矩形，∴AD⊥BC.∵点D是△ABC的边BC的中点，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(3)△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°八、23.解：(1)四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：如图①，连接AC，BD，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，即AC⊥BD，15
∴四边形ABCD是垂美四边形．①(第23题)(2)AB2＋CD2＝AD2＋BC2，证明如下：∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得AD2＋BC2＝OA2＋OD2＋OB2＋OC2，AB2＋CD2＝OA2＋OB2＋OC2＋OD2，∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.(3)如图②，设CE交AB于点M，交BG于点N，连接BE，CG，∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，∴∠CAG＝∠BAE＝90°，AG＝AC＝4，AE＝AB＝5，∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE.在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE(SAS)，∴∠ABG＝∠AEC，易知∠AEC＋∠AME＝90°，又∵∠AME＝∠BMN，15
∴∠ABG＋∠BMN＝90°，∴∠BNM＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形．由(2)可得CG2＋BE2＝CB2＋GE2，在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝5，∴BC2＝AB2－AC2＝9，在Rt△ACG中，CG2＝AC2＋AG2＝32，在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝50，∴9＋GE2＝32＋50，解得GE＝或GE＝－(不合题意，舍去)，∴GE的长为.15
