第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )A．4，5，6B．2，3，4C．11，12，13D．8，15，172．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为( )A．2B．2C．D．3．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )A．AC＝ADB．AC＝BCC．∠ABC＝∠ABDD．∠BAC＝∠BAD4．【教材P16随堂练习T3改编】下列命题的逆命题是真命题的是( )A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a＝b，则|a|＝|b|5．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACB＝105°，则∠B的度数为( )A．15°B．20°C．25°D．40°6．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )11
A．△ABC三条角平分线的交点处B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条高的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A．2.5B．1.5C．2D．18．【教材P26随堂练习变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm9．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D，且PC＝4，则PD的长等于( )A．1B．2C．4D．810．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，以AB，AC为边向外分别作等边三角形ABD和等边三角形ACE.若AC＝2，则BE的长为( )11
A．6B．2C．D．5二、填空题(每题3分，共24分)11．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角，第一步是假设这个三角形中____________．12．【教材P24习题T3变式】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E.若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为________．13．我们规定，等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k.若k＝2，则该等腰三角形的顶角为________度．14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．16．如图，有一张直角三角形纸片，AC＝7cm，BC＝14cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为__________．11
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D.下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.其中正确的有__________(填序号)．18.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)19．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC的平分线AE和∠ACB的平分线CD相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．20．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；(2)求△ABE的周长．11
21．【教材P34复习题T4变式】已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线分别交AB，AC于点E，F，且BE＝EO.(1)说明EF与CF的数量关系；(2)求点O到BC的距离．11
23．【教材P31例3拓展】(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，则AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为______________．(2)若将(1)中的条件“Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“△ABC中，∠C＝2∠B”，如图②，请问：(1)中的结论是否仍然成立？并证明．24．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图①，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图②，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且11
PD＝AB.求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC的长为5，AB＝3，准外心P在AC边上．试探究PA的长．11
答案一、1．D 2．C 3．A 4．C 5．C 6．D7．D 8．C 9．B10．B 点拨：连接CD.∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°.∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE.∴△ABE≌△ADC(SAS)．∴DC＝BE.∵∠ABC＝30°，∠ABD＝60°，∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝60°＋30°＝90°.∵△ABD是等边三角形，AC＝2，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∴BC＝4，BD＝AB＝2.在Rt△DBC中，DC＝＝＝2，∴BE＝DC＝2.二、11．有两个直角 12．19 13．9014．45° 15．4 16．5.25cm17．①②③④ 18．100°三、19．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°.∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.20．解：(1)如图所示．11
(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC.∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.∵AB＝5，BC＝7，∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12.21．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BEC＝∠BDC＝90°.∴∠BCE＋∠ABC＝∠DBC＋∠ACB＝90°.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(2)解：点O在∠BAC的平分线上．理由：在△EOB和△DOC中，∴△EOB≌△DOC(AAS)．∴OE＝OD.又∵OE⊥AE，OD⊥AD，∴点O在∠BAC的平分线上．22．解：(1)EF＝2CF.理由如下：如图所示．∵BE＝EO，∴∠1＝∠2.∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5.∴∠2＝∠3.∴EF∥BC.∴∠4＝∠5＝∠6.∴OF＝CF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵EF∥BC，11
∴∠ABC＝∠AEF＝∠ACB＝∠AFE.∴AE＝AF.∴BE＝CF.∴EF＝OE＋OF＝2CF.(2)如图，连接AO并延长交BC于点D.∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，AB＝AC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝3.在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，∴S△ABC＝BC·AD＝×6×4＝12.∵点O是△ABC三个内角平分线的交点，∴点O到三边的距离相等，即为OD的长．∵S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝S△ABC，∴BC·OD＋AC·OD＋AB·OD＝12.∴OD＝1.5，即点O到BC的距离是1.5.23．解：(1)AB＝AC＋CD(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：∵AD是∠CAB的平分线，∴将△CAD沿AD折叠，点C恰好落在AB边上，记为C′，如图所示．由折叠的性质知△ACD≌△AC′D，∴AC＝AC′，CD＝C′D，∠C＝∠1.∵∠C＝2∠B，∴∠1＝2∠B.又∵∠1＝∠2＋∠B，∴∠2＝∠B.∴C′D＝C′B＝CD.∴AB＝AC′＋BC′＝AC＋CD.11
24．解：应用：若PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC.∵CD为等边三角形ABC的高，∴AD＝BD，∠PCB＝∠ACB＝30°.∴∠PBC＝30°.∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝30°.∴PD＝BP.又∵PD2＋BD2＝PB2，∴PD＝BD＝AB，与已知PD＝AB矛盾．∴PB≠PC.同理可得PA≠PC，∴PA＝PB.由PD＝AB，AD＝BD，得PD＝BD.∵∠PDB＝90°，∴∠DPB＝45°.同理，∠APD＝45°.∴∠APB＝90°.探究：∵AB＝3，BC＝5，∴在Rt△ABC中，AC＝＝4.若PB＝PC，设PA＝x，则PC＝PB＝AC－PA＝4－x.在Rt△APB中，AP2＋AB2＝PB2，∴x2＋32＝(4－x)2.∴x＝，即PA＝.若PA＝PC，则PA＝AC＝2.若PA＝PB，则∠PBA＝∠A＝90°，显然不成立．综上，PA的长为2或.11
