第1章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则B＝( )A．48°B．58°C．62°D．68°2．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，若BE＝3，则DE的长为( )A．3B．4C．5D．无法求出3．如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BC于点F，且BC＝EF，如果添上一个条件后，可以直接用“HL”来证明Rt△ABC≌Rt△DEF，这个条件应该是( )A．AC＝DEB．AB＝DEC．∠B＝∠ED．∠D＝∠A4．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形5．如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A．8cmB．5cmC．5.5cmD．1cm6．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A．2mB．2.5mC．2.25mD．3m7．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为( )A.B．2C．3D．28．如图，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝CD＝7，若点P到AC的距离为5，则点P在四边形ABCD边上的个数为( )12
A．0B．2C．3D．49．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )A．2aB．2aC．3aD.a 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→B→A的路线运动，设点E的运动时间为ts(0≤t＜6)，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为( )A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5二、填空题(每题3分，共24分)11．如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么其面积为________．12．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝________．13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，AB＝6，那么DE的长是________.14．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝________时，△ABC与△APQ全等．15．如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB的中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F.已知EF＝，则BC的长是________．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝________cm.12
17．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为__________cm.(结果保留π)18．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰Rt△A1BO，再以OA1为直角边作等腰Rt△A2A1O，如此下去，则线段OAm的长度为________．三、解答题(19题6分，20，21题每题8分，22，23题每题10分，其余每题12分，共66分)19．若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，则△ABC的形状是什么？20．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：(1)PE＝PF；(2)点P在∠BAC的平分线上．12
20．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：(1)PE＝PF；(2)点P在∠BAC的平分线上．21．如图，在四边形ABCE中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，将△ACE沿AC边所在的直线折叠，点E恰好落在点D处．求证：EC∥AB.12
22．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，以D为顶点作∠EDF＝90°，DE，DF分别交AB，AC于E，F，且BE2＋CF2＝EF2，求证：△ABC为直角三角形．23．如图，一根长6的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，与地面的倾斜角(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑到点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′.(1)求OB的长；(2)当AA′＝1时，求BB′的长．12
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE.(1)求证：∠ACB＝2∠E;(2)若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是边AC上不与点A，C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．(1)求证：CM＝EM.(2)如果BC＝，△ABD的周长为2＋4，求∠ABD的度数．(3)当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．12
答案一、1.A 2.A3．B 【点拨】已知一组直角边对应相等，如果添上斜边相等，即可直接用“HL”证明两直角三角形全等，AB，DE分别为Rt△ABC，Rt△DEF的斜边，故选B.4．D 【点拨】∵(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∴a－b＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．5．A 6.A 7.C8．A 【点拨】如图，过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC，垂足分别为E，F.在Rt△ABC中，AC＝＝10，BF＝＝4.8＜5；在△ACD中，∵AD＝CD，∴AE＝CE＝5，∴DE＝＝2＜5，则点P在四边形ABCD边上的个数为0.故选A.9．B 【点拨】因为CD⊥AB，CD＝DE＝a，所以CE＝＝＝a.在△ABC中，因为点E是AB的中点，∠ACB＝90°，所以CE＝AB，所以AB＝2CE＝2a.10．D 【点拨】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，∴AB＝2BC＝4cm，∵BC＝2cm，D为BC的中点，∴BD＝BC＝1cm，当点E沿A→B运动时，易得EB＝(4－t)cm；当点E沿B→A运动时，易得EB＝(t－4)cm.若∠DEB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝0.5cm.12
当点E沿A→B运动时，则4－t＝0.5，解得t＝3.5；当点E沿B→A运动时，则t－4＝0.5，解得t＝4.5.若∠EDB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BED＝30°，∴BE＝2BD＝2cm.当点E沿A→B运动时，则4－t＝2，解得t＝2；当点E沿B→A运动时，则t－4＝2，解得t＝6(舍去)．综上可得，t的值为2或3.5或4.5.二、11.6 12.60° 13.314．5或10 15.316．8 【点拨】如图，延长AD交BC于M，由AB＝AC，AD平分∠BAC可得AM⊥BC，BM＝MC＝BC，延长ED交BC于N，因为∠EBC＝∠E＝60°，所以△BEN是等边三角形．所以EN＝BN＝BE＝6cm，所以DN＝6－2＝4(cm)．在Rt△DMN中，易知∠MND＝60°，所以∠MDN＝30°，所以MN＝DN＝2cm.所以BM＝6－2＝4(cm)，所以BC＝2BM＝8cm.17．3 18.()n三、19.解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，∴a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，12
∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形．【点拨】本题利用配方法，先求出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断．20．证明：(1)如图，连接AP并延长，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°.在Rt△AEP和Rt△AFP中，∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)，∴PE＝PF.(2)由(1)知Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP＝∠FAP，∴AP是∠BAC的平分线，故点P在∠BAC的平分线上．21．证明：∵点D是AB的中点，且∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝AD，∴∠CAD＝∠ACD.又∵△ACD是由△ACE沿AC边所在的直线折叠而成，∴∠ACD＝∠ECA，∴∠ECA＝∠CAD，∴EC∥AB.22．证明：延长FD至M，使DM＝FD，连接MB，ME，如图，12
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.又∵DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴△BDM≌△CDF(SAS)，∴∠C＝∠DBM，BM＝CF.∵ED⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF.∵BE2＋CF2＝EF2，∴BE2＋BM2＝EM2，即△BEM为直角三角形，且∠EBM＝90°.由∠C＝∠CBM知BM∥AC，∴∠BAC＝90°，即△ABC为直角三角形．23．解：(1)∵OA⊥OB，∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴OB＝AB＝×6＝3.(2)在Rt△ABO中，AO＝＝9，∴A′O＝AO－AA′＝9－1＝8.又由题意可知A′B′＝AB＝6.∴在Rt△A′OB′中，B′O＝＝2，∴BB′＝B′O－BO＝2－3.24．(1)证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD.∴∠ACB＝∠DBC，∵CD＝BE，∴BE＝BD，12
∴∠BDE＝∠E.∴∠ACB＝∠DBC＝∠BDE＋∠E＝2∠E.(2)解：如图，过点F作FM⊥BC于M，作FN⊥AC于N.∵CG平分∠ABC，∴FM＝FN.∵BE＝5，∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10.又∵AB＝6，在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，∴BC＝8.∵BD为△ABC的中线，∵S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12.又∵S△BCD＝S△BCF＋S△CDF，∴12＝CD·FN＋BC·FM，∴×5×FM＋×8×FM＝12，∴FM＝，∴S△BCF＝BC·FM＝×8×＝.25．(1)证明：∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，M是BD的中点，∴CM＝BD.同理得EM＝BD，∴CM＝EM.(2)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝，∴AB＝2BC＝2.由勾股定理得AC＝＝3.又∵△ABD的周长为2＋4，∴AD＋BD＝4.12
设AD＝x，则CD＝3－x，BD＝4－x.在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∴BD2＝BC2＋CD2，∴(4－x)2＝3＋(3－x)2，解得x＝2.∴AD＝2，则BD＝2＝AD，∴△ABD为等腰三角形，∴∠ABD＝∠A＝30°.(3)解：不变．∵M是Rt△BCD中斜边BD的中点，∴MB＝MC，∴∠MBC＝∠MCB.∴∠CMD＝∠MBC＋∠MCB＝2∠MBC.同理可得∠EMD＝2∠MBE，∴∠CMD＋∠EMD＝2∠MBC＋2∠MBE＝2(∠MBC＋∠MBE)＝2∠ABC，即∠CME＝2∠ABC＝120°.∵MC＝ME，∴∠MCE＝∠MEC＝30°.12
