2.菱形的判定第1课时菱形的判定定理11．理解并掌握菱形的判定定理1；(重点)2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点) 一、情境导入木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边形ABCD是菱形．二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD为菱形．解析：由ASA证明△OAD≌△OCB得出OD＝OB，得出四边形ABCD是平行四边形，再证出∠CBD＝∠CDB，得出BC＝DC，即可得出四边形ABCD是菱形．证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCB，∠ADB=∠CBD.在△OAD和△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA）.∴OD＝OB，∠ODA＝∠OBC.∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.∴∠CBD＝∠CDB.∴BC＝DC.∴四边形ABCD是菱形．方法总结：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、角平分线定义、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．【类型二】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形
如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AD＝CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD(AAS)；(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．探究点二：菱形的性质和判定的综合应用如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由．解析：(1)首先利用“SSS”证明△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC.再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，进而得到∠AFD＝∠CFE；(2)首先证明∠CAD＝∠ACD，再根据“等角对等边”，可得AD＝CD.再由条件AB＝AD，CB＝CD，可得AB＝CB＝CD＝AD，可得四边形ABCD是菱形；(3)首先证明△BCF≌△DCF，可得∠CBF＝∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC＝∠DEF＝90°，进而得到∠EFD＝∠BCD.
(1)证明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFD＝∠AFB.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)解：当BE⊥CD于E时，∠EFD＝∠BCD.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，则∠BCD＋∠CBF＝∠EFD＋∠CDF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD.方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判定的综合应用经历菱形的猜想、证明的过程，进一提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
