19.2菱形第19章矩形、菱形和正方形1.菱形的性质第1课时菱形的性质
学习目标1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
导入新课情景引入欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧.
平行四边形矩形前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.有一个角是直角讲授新课菱形的性质一
思考如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.菱形一组邻边相等菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.知识要点
活动1如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动2在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:问题1菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?猜想1菱形的四条边都相等.猜想2菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB=BC=CD=AD；(2)AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD.ABCOD证一证
（2）∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中,∵OB=OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质归纳总结
例1如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形.解：在菱形ABCD中，AB＝BC∠B＋∠BAD＝180°又已知∠BAD＝2∠B可得∠B＝60°所以△ABC是一个角为60°的等腰三角形，即为等边三角形.ABCD典例精析
例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.因为AC＝6cm，BD＝12cm，所以AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得所以菱形的周长＝4AB＝4×3＝12(cm)．
例3如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．归纳
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是()A.10B.12C.15D.20C练一练2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.(提示：三角形中两边中点所连线段的长等于第三边的长)第1题图第2题图6cm
思考：菱形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么？菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于菱形是平行四边形，因此O
做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折（即作关于直线DB的轴对称），点A的像是______，点C的像是_____，点D的像是_____，点B的像是_____，边AD的像是_____，边CD的像是_____，边AB的像是_____，边CB的像是_____.点C点A边CD点B点D边AD边CB边AB想一想：你能得到什么结论？菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
菱形的面积二问题1菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?ABCD思考前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高=BC·AE.E
问题2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么发现？菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
例4如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，所以S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.因为又因为菱形两组对边的距离相等，所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h，所以13h＝120，得h＝.
菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．归纳
练一练如图，已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ ）A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cmB
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等C2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）A.18B.16C.15D.14当堂练习B
3.根据下图填一填：（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是______.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_______.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______.3cm30°ABCOD5cm
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，则菱形的周长为______.44cm(5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的长度比为1∶2,那么菱形最短的那条对角线长为_______.8厘米ABCOD
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE
5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC.∴∠AFD=∠CBE．ADCBFE
课堂小结菱形的性质菱形的性质有关计算边1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角
