解三角形的实际应用问题专练一、选择题1．从A处望B处的仰角为，从B处望A的俯角为，则与的关系为（）A．＞B．=C．+=90°D．+=180°【答案】B【解析】根据仰角和俯角的概念，根据平行线的性质得解.【详解】因为与为两平行线的内错角，所以=.故答案为：B【点睛】本题主要考查仰角和俯角的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A．0.5kmB．1kmC．1.5kmD．km【答案】B【解析】根据题意作图，设出相应参数，根据∠BAC=∠ABD﹣∠C，求得∠BAC=∠C，判断出三角形ABC为等腰三角形，进而求得BC．【详解】如图设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，∵∠ABD=20°，∠C=10°，∴∠BAC=20°﹣10°=10°．∴AB=BC，∴BC=1，即坡底要加长1km，故选：B．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．3．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A．nmile/hB．nmile/hC．nmile/hD．nmile/h【答案】B【解析】由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m，由此可得河宽为(精确到1cm)( )A．170mB．98mC．95mD．86m【答案】C【解析】在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝.设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，所以h＝BC·sin∠CBA＝40×sin75°≈95(m)．故选C.【点睛】正弦定理对于任意三角形都成立，它指出三角形三条边与对应角的正弦之间的关系式，描述了任意三角形中边与角的数量关系，主要功能是实现三角形中边角的关系转化.本题的关键是根据正弦定理利用角大小来求出边长大小.5．两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C北偏东300，B在C南偏东600，则A、B之间相距：A．akmB．akmC．akmD．2akm【答案】C【解析】如图，由题意可得，在中，，∴。即则A、B之间相距为。选C。6．如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.A．100B．100C．120D．200【答案】B【解析】中,,又,由,得中,,故选B.7．在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进后测仰角为原来的倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的倍，则该山峰的高度为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出图像，根据角度和边的对应关系，用余弦定理求得的值，进而求得的值，由此求得山高.【详解】画出图像如下图所示，由等角对等腰得，在三角形中，由余弦定理得，所以，.在直角三角形中，.故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于中档题.8．在山脚A处测得该山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为 A．200mB．300mC．400mD．【答案】B【解析】先根据题意可知，进而根据余弦定理可求得的值进而求得，最后在直角三角形PCD中求解．【详解】解：依题意可知，，所以该山峰的高度故选：B．【点睛】本题主要考查了余弦定理及给值求角问题，考查计算能力及转化能力，属于基础题。9．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度,作差后可得结果.【详解】如图，，，在中，又，，在中，，，，河流的宽度等于，故选C.【点睛】本题主要考查两角差的正切公式、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数,意在考查综合应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.10．已知船在灯塔北偏东且到的距离为，船在灯塔西偏北且到的距离为，则两船的距离为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意求得∠ACB＝150°，再利用余弦定理求得AB的值.【详解】由题意可得∠ACB＝（90°﹣25°）+85°＝150°，又AC＝2，BC＝，由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos150°＝13，∴AB＝，故选：C．【点睛】本题考查余弦定理的应用，求得∠ACB＝150°，是解题的关键，属于简单题.11．在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为()A．50(1＋)mB．50(1＋)mC．50()mD．50()m【答案】B【解析】根据仰角与俯角概念列式求解.【详解】如图,由题意得这座塔的高为,选B.【点睛】本题考查仰角与俯角概念以及解三角形，考查基本求解能力，属基本题.12．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为()km.A．B．C．D．2【答案】B【解析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，进而由余弦定理可求的值．【详解】由已知，中，，，由正弦定理，，所以，在中，，由正弦定理，，所以，在中，由余弦定理，，解得：．所以与的距离.故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示），不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后（没有完全断开），树干与底面成角，折断部分与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则大树原来的高度是____米（结果保留根号）．【答案】【解析】先设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，得到三角形的三个角的大小，再由正弦定理即可求解.【详解】如图所示,设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，则,,所以．由正弦定理知,，所以(米)，(米)，(米)．答案：【点睛】本题主要考查解三角形的应用，常用正弦定理和余弦定理等来解题，难度不大.14．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米【答案】【解析】首先求得OD,OC的长度，然后利用余弦定理求解该扇形的半径即可.【详解】依题意得，连接，易知，因此由余弦定理有，即.即该扇形的半径为.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．某人从A处出发，沿北偏东60°行走km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为________km.【答案】7【解析】结合题意将问题转化在中进行求解，利用余弦定理可得所求．【详解】结合题意可得，在中，，由余弦定理得,∴，故A，C两地的距离为7km．故答案为7．【点睛】本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是通过对题意的分析、画出适当的示意图，然后将问题转化为三角形的问题处理，其中正余弦定理是常用的工具．16．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为__________．【答案】【解析】如图，，在等腰三角形中，，∴，故山顶的海拔高度为．点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.三、解答题17．如图，一人在地看到建筑物在正北方向，另一建筑物在北偏西方向，此人向北偏西方向前进到达处，看到在他的北偏东方向，在北偏东方向，试求这两座建筑物之间的距离.【答案】【解析】依题意得DC=，推出BDC＝30°，在△BDC和△ADC中，利用正弦定理求出BC、AC．在△ABC中，由余弦定理可得结果．【详解】依题意得，DC=，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°．在△BDC中，由正弦定理得，．在△ADC中，由正弦定理得，．在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB．∴AB＝5．答：这两座建筑物之间的距离为5km．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，选择正确的三角形以及合理的定理解答是解好题目的关键，考查计算能力．18．某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?【答案】见解析【解析】根据题意设，，则可以求出，，，，在中，由正弦定理求得即可得到答案【详解】设∠ACD=α，∠CDB=β.在△CBD中．由余弦定理得cosβ＝∴sinβ＝.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝·＋·＝.在△ACD中，＝，∴AD＝＝15(千米)．所以这人再走15千米才可到城A.【点睛】本题是解斜三角形的应用问题，关键是设角以及如何把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求结果，注意利用正弦定理和余弦定理合理的得到边角的关系式。19．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进10米后到达点B，又从点B测得斜度为，建筑物的高CD为5米．（1）若，求AC的长；（2）若，求此山对于地平面的倾斜角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】（1）在中利用正弦定理可求的长.（2）在中利用正弦定理可求的长，在利用正弦定理算出后可得的大小，从而可以得到的大小.【详解】（1）当时，，所以，由余弦定理得：，故.（2）当，在中，由正弦定理有在中，，又.20．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东的C处，．在离观测站A的正南方某处E，.（1）求；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）利用余弦定理该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，该船的行驶速度（海里/小时）21．在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2nmile的C处有一艘缉私艇奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)【答案】缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时【解析】设缉私艇追上走私船需t小时，则BD=10tnmileCD=tnmile∵∠BAC=45°+75°=120°∴在△ABC中，由余弦定理得即 由正弦定理得 ∴ ∠ABC=45°，∴BC为东西走向∴∠CBD=120° 在△BCD中，由正弦定理得∴ ∠BCD=30°，∴ ∠BDC=30°∴即 ∴ （小时）答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时.
