解三角形的多种情况专练一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若，，，则 A.B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可求，利用小边对小角可知B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可解得B的值．【解答】解：，，，由正弦定理可得，，B为锐角，．故选A．2.满足条件，，的的个数是 A.1B.2C.无数个D.不存在[来源:学#科#网Z#X#X#K]【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于基础题．由已知，利用正弦定理可求，从而可得满足此条件的三角形不存在．【解答】解：，，，由正弦定理可得：，不成立．故选D．1.在中，若，，，则此三角形解的个数为 A.0个B.1个C.2个D.不能确定【答案】C本题考查三角形解得个数的判断，属基础题．2.已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分两种情况来考虑，当a为最大边时，只要保证a所对的角为锐角就可以了；当a不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有余弦定理，三角形的边角关系，以及一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的数学思想，即a为最大边，三角形为锐角三角形，故a所对的角为锐角，；a不为最大边，4就为最大边，三角形为锐角三角形，故4所对的角为锐角，然后利用余弦定理列出不等式来解决问题．【解答】解：分两种情况来考虑：当a为最大边时，设a所对的角为，由锐角，根据余弦定理可得：，可知只要即可，可解得：；当a不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了，则有，可解得：，所以综上可知x的取值范围为．故选C．学科_网1.在中，若，则的形状是 [来源:学§科§网]A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题．由已知结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，进而可判断A的取值范围，从而得解．学科_网【解答】解：在中，，由正弦定理可得，由余弦定理可得：，．是钝角三角形．故选C．2.在中，若，则的形状为 A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得或进而可作出判断．本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题．1.在中，，，的对边分别为a，b，c，，则的形状一定是 A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】解：在中，，，，即，，，，，为直角．故选：B．在中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知，转化为，整理即可判断的形状．本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．1.在中，己知，则角A的值为 A.或B.C.D.或【答案】A由B的度数求出的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出的值，根据a大于b，得到A大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2.在中，，则是 A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理化简已知等式，结合，，可得，从而可求，或，进而得解．【解答】解：，由正弦定理可得：，由，，可得：，，或，或，是等腰或直角三角形．故选D．1.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且，则 A.可能为锐角三角形B.一定不是锐角三角形C.一定为钝角三角形D.不可能为钝角三角形[来源:学科网ZXXK]【答案】B【解析】解：当，即，，，不可能为锐角．故选：B．利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入得到的范围，确定出C的范围，即可得到结果．此题考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．2.在中，，，，则此三角形解的情况是 A.一解B.两解C.一解或两解D.无解【答案】D【解析】【分析】考查了推理能力与计算能力，属较易题．由，即可得出解的情况本题考查了正弦定理解三角形．【解答】解：过点A作点D在的一条边上，，因此此三角形无解．故选D．1.中，已知，，，如果有两组解，则x的取值范围 A.B.C.D.【答案】B【解析】解： 有两组解， ，解得．故选：B．由 有两组解，可由正弦定理得，解出即可得出答案．本题考查了正弦定理、解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．【答案】[来源:学|科|网Z|X|X|K]【解析】【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题【解答】解：根据正弦定理可得，，，，，，，．故答案为．3.在中，，，，则________．【答案】【解析】解：，，，由正弦定理可得：，，B为锐角，．故答案为：．由已知利用正弦定理可求，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求的值．学_科网本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．1.在中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则的形状为______．学_科网【答案】等边三角形由等差数列和三角形内角和可得，再由等比数列和余弦定理可得，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，如果这样的三角形有且只有一个，则a的取值范围为______．【答案】或【解析】解：在中，，，这样的三角形有且只有一个，或，故答案为：或．由题意求出，数形结合可得a的范围．本题考查正弦定理解决三角形解得个数问题，数形结合是解决问题的关键，属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）2.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．Ⅰ求C；Ⅱ若，的面积为，求的周长．【答案】解：Ⅰ在中，，已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，即，为三角形ABC的内角，；Ⅱ由余弦定理得，，，，，或舍去的周长为．【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．Ⅰ已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为0求出的值，即可确定出C的度数；Ⅱ利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，．求c；设D为BC边上一点，且，求的面积．【答案】解：Ⅰ，，，，由余弦定理可得，即，即，解得舍去或，故．Ⅱ，，，，，．【解析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题．先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出；先根据余弦定理求出，求出CD的长，得到．1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．Ⅰ证明：；Ⅱ若的面积，求角A的大小．【答案】Ⅰ证明：，，，B是三角形中的角，，；Ⅱ解：的面积，，，，，，或，或．【解析】Ⅰ利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明Ⅱ若的面积，则，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知Ⅰ求角B的大小；Ⅱ设，，求b和的值．【答案】解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，又，即，，又，．Ⅱ在中，，，，由余弦定理得，由，得，，，，，．【解析】Ⅰ由正弦定理得，与由此能求出B．Ⅱ由余弦定理得，由，得，，由此能求出．本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，，．Ⅰ求b和的值；Ⅱ求的值．[来源:学科网]【答案】解：Ⅰ在中，，故由，可得．由已知及余弦定理，有，．由正弦定理，得．，；Ⅱ由Ⅰ及，得，，．故．【解析】Ⅰ由已知结合同角三角函数基本关系式求得，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得；Ⅱ由同角三角函数基本关系式求得，再由倍角公式求得，，展开两角和的正弦得答案．本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．2.在中，角所对的边分别为，且满足．求角A的大小；学科+网已知，的面积为1，求边a．方法2：，，即：又，由解得：或，由余弦定理得：，故：．【解析】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力利用余弦定理以及正弦定理，转化求解即可方法1：通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可方法2：利用三角形的面积以及知，求出b，c，然后利用余弦定理求解a即可．
