专题02数的整除性阅读与思考设，是整数，≠0，如果一个整数使得等式=成立，那么称能被整除，或称整除，记作|，又称为的约数，而称为的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数的个位数是偶数，则2|；②若整数的个位数是0或5，则5|；③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|(或9|)；④若整数的末二位数是4(或25)的倍数，则4|(或25|)；⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数，则8|(或125|)；⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|．2．整除的基本性质设，，都是整数，有：①若|，|，则|；②若|，|，则|(±)；③若|，|，则[，]|；④若|，|，且与互质，则|；⑤若|，且与互质，则|．特别地，若质数|，则必有|或|．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题)解题思想：自然数能同时被2和3整除，则能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知，是正整数(＞)，对于以下两个结论：①在＋，，－这三个数中必有2的倍数；②在＋，，－这三个数中必有3的倍数．其中()A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．【例3】已知整数能被198整除，求，的值．(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数能被9，11整除，运用整除的相关特性建立，的等式，求出，的值．【例4】已知，，都是整数，当代数式7＋2＋3的值能被13整除时，那么代数式5＋7－22的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5＋7－22构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数，，…，，满足对任意一个正整数，在，，…，中都至少有一个为的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为的“魔术数”．根据题中条件，利用(是的位数)被7除所得余数，分析的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足|－|=1，我们把青蛙从开始，经－1次跳动的位置依次记作：，，，…，．⑴写出一个，使其，且＋＋＋＋>0；⑵若=13，=2012，求的值；⑶对于整数(≥2)，如果存在一个能同时满足如下两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整数(≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证＋＋＋＋>0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若=13，=2012，从经过1999步到．不妨设向右跳了步，向左跳了步，则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳．⑶设同时满足两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故从原点出发，经过(－1)步到达，假定这(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，则＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4|(－1)．能力训练A级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()A．532B．665C．133D．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是()A．1B．2C．3D．6(江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()A．12个B．18个C．20个D．30个(“希望杯”邀请赛试题)7．五位数是9的倍数，其中是4的倍数，那么的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字，使得三位数，，，能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则的最小值为_________，的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题)2．已知，都是正整数，若1≤≤≤30，且能被21整除，则满足条件的数对(，)共有___________个．(天津市竞赛试题)3．一个六位数能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串同时出现在这两个数串中的数的个数共有()个．A．333B．334C．335D．3365．一个六位数能被12整除，这样的六位数共有()个．A．4B．6C．8D．126．若1059，1417，2312分别被自然数除时，所得的余数都是，则－的值为()．A．15B．1C．164D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数，然后，魔术师再要求他记下五个数：，，，，，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出的大小，魔术师就能说出原数是什么．如果N=3194，请你确定．(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)11．从1，2，…，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)专题02数的整除性例1267提示：333－66＝267．例2C提示：关于②的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b都不是3的倍数，则有：(1)当a＝3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝3m＋2，b＝3n＋2时，a－b＝3(m－n).例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．例4设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比较上式a，b，c的系数，应当有，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，则有13(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，则5a＋7b－22c就能被13整除．例5考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1＜a2＜…＜an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数”，因为ai·10k＋m(k是m的位数)，是7的倍数，当i≤b时，而ai·t除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i＝7时，而ai·10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·10k＋m被7整除，即n＝7．例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)(2)a1000＝13＋999＝1012．(3)n被4除余数为0或1．A级1．12．31433．397984．A5．C6．B7．五位数＝10×＋e.又∵为4的倍数．故最值为1000，又因为为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此最小值为10008.8．324561提示：d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B级1．2521a＝2520n＋1(n∈N＋)2．573．719895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．4．B5．B6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．7．由题意得＋＋＋＋＝3194，两边加上．得222(a＋b＋c)＝3194＋∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋．则＋86是222的倍数．且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．可知N为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．9．设原六位数为，则6×＝，即6×(1000×＋)＝1000×＋，所以994×－5999×，即142×＝857×，∵(142，857)＝1，∴142|，857|，而，为三位数，∴＝142，＝857，故＝142857．10．设这个数为，则1000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1999，即1001a＋101b＋11c＋2d＝1999，得a＝1，进而101b＋11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，则11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤11c≤89，推得c＝7，d＝6，故这个四位数是1976．11．当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n＝5时，设a1a2，…，a5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一个为5，若中含1，则不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数,矛盾.若中含9,则不含1,于是不含故含4;不含故含3;不含故含2;但是是10的倍数,矛盾.综上所述,n的最小值为5
