专题15一次方程组的应用阅读与思考1、求代数式的值一些表面与方程组无关的问题，借助相关概念、性质、对题意的理解等将问题转化为解方程组而获解2、列方程组解应用题不同的应用问题应采用不同的解决手段或方法，对于含有多个未知量的问题，利用方程组求解常常比单设一个未知数建立一元方程容易，列方程组解应用题的步骤与列一元方程应用题的步骤类似，他们的不同之处在于：首先，列方程所解决的应用题中含有多个未知量，须设多个未知数，而列方程只能设一个未知数，其他未知量只能用这一个未知数的代数式表示；其次，列方程组解应用题应列出彼此独立的方程来组成方程组，而列方程解应用题只需列出一个方程.例题与求解【例1】小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，并且18路公交车总站每间隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是__________分钟.（2013年“《数学周报》杯竞赛试题）解题思路：根据同向行驶的相邻两车的间距保持不变，且小王行走速度和公交车行驶速度是固定的，列方程组分析.【例2】如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积为（）A、200平方厘米B、300平方厘米C、600平方厘米D、2400平方厘米（黑龙江中考试题）解题思路：设每块长方形地砖的长为厘米，宽为厘米，则根据图形可列出关于，的二元一次方程组.【例3】某班进行个人投篮比赛，下表记录了在规定时间内投进几个球人数分布情况.进球012345投进个球的人数1272同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？（上海市中考试题）解题思路：已知两种进球情况下的人均进球数，根据平均每人投进的球数＝投进总球数/总人数列出方程组.【例4】某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需支付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的2/3，厂家需支付甲、丙两队共5500元.(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.（天津市中考试题）【例5】有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根，共长36米，问甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长多少米？（天津市竞赛试题）解题思路：三个未知量却只有两个等量关系，需运用相关的解方程组的技巧，如视某个变量为常量、整体思想等.【例6】星期天，妈妈带着小丁去买了2斤苹果核6斤橘子，共用去12元，妈妈说：”上星期天也是买了2斤苹果核6斤橘子，也是花了12元，可是今天的苹果价格下调了，橘子价格上涨了，并且上涨和下调的幅度相同.”试求上星期天苹果核橘子每斤的价格.（2013年七年级数学应用与创新竞赛试题）解题思路：设上星期天苹果每斤x元，橘子每斤y元，价格调整的幅度为m，列出方程组.能力训练A级1、若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需要________元.（浙江省绍兴市中考试题）2、全国足球甲A联赛前12轮（场）的比赛后，前三名比赛成绩如下表，则每队胜乙场、平一场、负一场分布的_________分胜场平场负场积分大连万达队82226上海申花队65126北京国安队57022（江苏省南京市中考试题）3、若x＋2y＋3z＝14，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z＝.4、如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为.5、已知是同类项，则m，n的值分别为（）A.m＝－1，n＝－7B.m＝3，n＝1C.m＝，n＝D.m＝，n＝－26、某商店出售甲、乙两种商品，售价都是1800元，其中，甲商品能盈利20%，乙商品将亏损20%，如果同时售出甲、乙商品个一件，那么（）A、共盈利150元B、共亏损150元C、不盈利也不亏损D、以上答案都不对（山东省竞赛试题）7、方程的整数解得个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）A、甲比乙大5岁B、甲比乙大10岁C、乙比甲大10岁D、乙比甲大5岁（全国初中数学联赛试题）9、某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒（如图Error!Referencesourcenotfound.），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等（如图Error!Referencesourcenotfound.），现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于这种小盒，求可做成甲、乙两种小盒各多少个？（上海中考试题）7、某超市为“开业三周年”举行店庆活动，对A、B两种商品实行打折出售，打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元，而店庆期间，购买50件A商品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？（新疆乌鲁木齐中考试题）8、项王故里的票价规定如下表：购票人数1~50人51~100人100人以上每人门票价5元4.5元4元某校七年级甲、乙两班共103人（其中甲班人数多于乙班人数）去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，则共付486元.（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元？（2）两班各有多少名学生？（江苏省宿迁市中考试题）12、甲、乙、丙三人各有糖若干块，要求相互赠送，先由甲给乙、丙，所给的糖的块数等于乙、丙原来各自的糖块数，依同样的方法再由乙给甲、丙现有的糖块数；后由丙给甲、乙现有的糖块数，相互赠送后，每人恰好各有糖64块，问三人原来各有糖多少块？（天津市竞赛试题）B级1、设x，y满足，则x＝y＝（“希望杯”邀请赛试题）2、《数理天地》（初中版）月刊，全年12期，每期定价2.5元，某中学七年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元，若订全年的改订半年，订半年的改订全年的时，则共需订费1245元，则该中学七年级订阅《数理天地》的学生共有人（“希望杯”邀请赛试题）3、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断的涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机台.（全国初中数学联赛试题）4、购买五中数学用品A1，A2，A3，A4。A5的件数和用钱总数如下表：件数品名A1，A2A3，A4A5总钱数第一次购件数134561992（元）第二次购件数1579112984(元)则五种数学用品各买一件共需元.5、买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元，则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需（）A、20元B、25元C、30元D、35元（江苏省竞赛试题）6、在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是（）（“希望杯”邀请试题）A、28B、27C、26D、257、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传送给接收文，接收方收到密文后，解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a－2b，2a＋b，例如1，2对应的密文为－3，4，当接收文收到密文是1，7时，解密得到的，明文是（）A.－1，1B、1，3C、3，1D、1，18、在车站开始检票时，有a（a＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？（广东省广州市中考试题）9、如图，正方形中的每个小图形表示一个数字，相同的图形表示相同的数字，不同的图形表示不同的数字，正方形外的数字表示该行或该列的数字的和，求x，y的值（“希望杯”邀请赛试题）8、编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号数的平均数等于原平均数加，B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加，问原来在篮子A中有多少个弹珠？（江苏省竞赛试题）9、某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有多少人？（2013年全国初中数学竞赛预赛试题）专题15一次方程组的应用例14提示：设18路公交车的速度为x米/分，小王行走的速度为y米/分，同向行驶的相邻两车间距离为S米，依题意得①＋②×2得S＝4x．所以间隔时间为分钟．例2B提示：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm．依图形可知解得故每个长方形地砖的面积为30×10＝300cm2．例3设投进3个球的有x人，投进4个球的有y人．依题意得解得例4 （1）设甲队单独做天完成，乙队单独做天完成，丙队单独做天完成，则解得（2）设甲队做一天应付给元，乙队做一天应付给元，丙队做一天应付给元，则解得因＝8000元，＝9750元，故甲队单独完成此工程花钱最少．例5 提示：设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为米，米，米，由题意得①×2＋②×3，得＝154，即＝154，故＝22米．例6 设上星期天苹果每斤元，橘子每斤元，价格调整的幅度为，则①－②，得＝0．∵≠0，∴＝0，即＝．把＝代入①中得，＝12，解得＝1．把＝1代入＝中，得＝3．故上星期天苹果每斤3元，橘子每斤1元．A 级1．12 提示：设1支圆珠笔元，1本日记本元，依题意可得，解得，故4支圆珠笔，4本日记本需要4x＋4y＝4×1＋4×2＝12.2.3，1，03.54.44cm25.B6.B提示：设甲进价为x元，乙进价50为y元.则x·（1＋20%）＝1800，y·（1－20%）＝1800，解得x＝1500，y＝2250.所以商店盈利为1800×2－（1500＋2250）＝－150，即商店亏损150元.7.A8.A提示：设甲、乙现在的年龄分别为x、y岁，则，解得.9.甲、乙各30个、60个.提示：设可做成甲、乙两种小盒分别为x、y个，则.10.设打折前，1件A商品x元，1件B商品y元，则，解得，则5不打折时，50件A商品和50件B商品需用50×16＋50×4＝1000元，而1000－960＝40元，故店庆期间，购买50件A商品和50件B商品比不打折少花40元.11.（1）74元.（2）设甲班人数为x，乙班人数为y，则x＞y，令51＜x＜100，1＜y＜51，则，解得.12.三人各有104块、56块、32块.提示：列表反映数量关系.B级1.，5提示：①－②×2得－3x＋y＋|3x－y|＝17.故3x－y＜0.原方程组可变形为，解得.2.573.6提示：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米（c≠0），则，解得.4.10005.C6.A7.C8.设检票开始后每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人.5分钟内检票完毕要同时开放n个检票口，则，由①，②得，代入③得，解得n≥3.5，即至少要同时开放4个窗口.9.易知y=28.设第一行所表示的数依次是a、b、c、b，第二行第4列的数字是d，则有，②－③得⑥，⑥代入④，得，即，故.由于①④式相同，故，因此.10.设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠（25－x）个.又设A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b，则，由②，③分别得，.代入①得，解得11.设这个单位参加健身操比赛的职工有y人.6人，5人，4人一列分别可以整排a，b，c列，则y＝6a－2＝5b＋2＝4c（a，b，c是正整数）.∴，由②得.∵c为正整数，可令a－1＝2m，∴a＝2m＋1（m是正整数）③将③代入①，得，∴.∵b为正整数，可令，∴（n为正整数）④将④代入③中，得，∴（n为正整数）∴当n＝1时，y有最小值52.故参加健身操比赛的职工至少有52人.
