专题17不等式(组)的应用阅读与思考许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在：1．作差或作商比较有理数的大小．2．求代数式的取值范围．3．求代数式的最大值或最小值．4．列不等式(组)解应用题．列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”．例题与求解【例1】如果关于的方程只有负根，那么的取值范围是_________．(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)解题思路：由＜0建立关于的不等式．【例2】已知A＝，B＝，C＝，则有()．A．A＞B＞CB．C＞B＞AC．B＞A＞CD．B＞C＞A(浙江省绍兴市竞赛试题)解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较【例3】已知，，，，，，是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数的最大值．(北京市竞赛试题)解题思路：设＜＜＜···＜，则+++···+＝159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含的不等式．【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．(河北省竞赛试题)解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．【例6】已知，皆为自然数，且1＜＜．若，．求的值．(香港中学数学竞赛试题)解题思路：此题可理解为在个连续自然数中去除其中一个数(且1＜＜，是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求和之和。能力训练A级1.若方程的解小于零，则的取值范围是___________．2.若方程组的解为，，且2＜＜4，则－的取值范围是___________．（山东省聊城市中考试题）3.，，，是正整数，且＋＝20，＋＝24，＋＝22，设＋＋＋的最大值为M，最小值为N，则M－N＝_________．（重庆市竞赛试题）4．一辆公共汽车上有名乘客，到某一车站时有名乘客下车，则车上原有______________名乘客．（吉林省长春市中考试题）5．一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的，且至少是红球的，黄球与白球合起来不多于55个，则盒子中至多有红球__________个．(河北省竞赛试题)6．若，且≥2，则()A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值(浙江省杭州市中考题)7．设，，则P，Q的大小关系是（）．A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不能确定8．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于()A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克(山东省烟台市中考试题)9．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有2元到100元多种，某团体需购买票价6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍．问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?(江苏省竞赛试题)10．某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图所示：一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5m(吃水深度即船底与水面的距离)．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，才能进出该港．根据题目中所给的条件，回答下列问题：(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_______m，卸货最多只能用______小时；(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？（江苏省苏州市中考试题）B级1．设，，，都是整数，且＜3，＜5，＜7，＜30，那么的最大可能值为_______．（“新世纪杯”数学竞赛试题）2．某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人．又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有客房___________间．3．已知＜0，满足不等式，那么的取值范围是___________．4．若，满足，S＝，则S的取值范围是__________．(广西竞赛试题)5．已知，，，…，是彼此互不相等的负数，且M＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，N＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，那么M与N的大小关系是()A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．无法确定(江苏省竞赛试题)6．某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套增加成本20元．如果每套书定价100元，卖出后有3成收入给经销商，出版社要盈利10％，那么该书至少要发行()套．A．2000B．3000C．4000D．5000(“希望杯”邀请赛试题)7．今有浓度为5％，8％，9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?(北京市竞赛试题)8．为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖金（元/人）15007000当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A队共积19分．(1)请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．(2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元．设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元)，试求W的最大值。(黑龙江省中考试题)9．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元，改造一所A类学校和两所．B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元?(2)若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所?(3)我市计划今年对该县A，B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案．(湖北省襄樊市中考试题)10．设，，…，是整数，且满足下列条件：(1)－l≤≤2(＝1，2，…，2008)；(2)；(3)．求的最大值和最小值．(“宗沪杯”竞赛试题)专题17不等式（组）的应用例1-1＜m＜1例2A例3设，因a1，a2，…a7为正整数，故，，，，，，上面不等式相加，得，，故的最大值为19.例4设小熊玩具和小猫玩具的个数分别为x、y，总售价为z，则当总售价z=2200元时，则为，即解得，故x=14.当x=14时，y=24，z=80×14+45×24=2200元，故安排生产小熊玩具14个，小猫玩具24个可达到总售价2200元.例5提示：设兑换成的1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，则例6解得，故z=41，42，43，44，45.由此得出x，y的对应值，于是得到5种方案：（x，y，z）=（73，36，41）；（x，y，z）=（76，32，42）；（x，y，z）=（79，28，43）；（x，y，z）=（82，24，44）；（x，y，z）=（85，20，45）.例6∵1＜k＜n∴即，∴，即∴n=19。于是，解得k=10，故a=n+k=19+10=29.A级1.a＞19922.0＜x-y＜13.36提示：b=20-a,c=24-a.d=22-a，，由a，b，c，d为正整数，得，原式=66-2a，∴M=66-2×1=64，N=66-2×19=28，则M-N=64-28=36.4.6或11或16提示：5a-4≥0，9-2a≥0以及5a-4≥9-2a.5.54提示：设有白球x个，黄球y个，红球z个，则依题意有，由①得，∴，即，又∵x为整数，∴，则②式得，即.6.C提示：由条件得a＞0，b＜0或a＜0，b＜0，从而或，.7.A8.D9.购买46张6元票、94张10元票花钱最少，最少需要1216元.10.（1）68（2）甲愉至少应工作4小时.B级1.3026提示：a≤3b-1，b≤5c-1，c≤7d-1，d≤30-1=29.2.10提示：设底楼有x间客房，则3.4.提示：由题中条件知，解得，又因为，故，解得.5.A提示：设，，则，故M＞N.6.A设出版社发行x套书，则100×（1-0.3）x≥（8000+20x）（1+10%）.7.提示：设甲、乙、丙三种盐水应分别取x克，y克，z克，解得，从而，解得8.（1）设A队胜x场、平y场、负z场，则，，∵，∴，解得.∴x=4，5或6，即A队获胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7，z=1；当x=5时，y=4，z=3；当x=6时，y=1，z=5.⑵W=（1500+500）x+（700+500）y+500z=19300-600x.当x=4时，W最大，W最大值=19300-600×4=16900元.9.提示：⑴设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元，依题意得，解得.即改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元.⑵设该县A，B两类学校分别为m所和n所.则60m+85n=1575，m=.∵m≤5，∴≤5，解得n≥15，即B类学校至少15所.⑶设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（6-x）所，依题意得，解得1≤x≤4.∵x取整数，∴x=1，2，3，4，即共有4种改造方案.10.设x1，x2，…x2008中有q个0，r个-1，s个1，t个2，则，解得s+3t=1104，故0≤t≤368.由x13+x23+…x20083=-r+s+8t=6t+200得200≤x13+x23+…x20083≤6×368+200=2048.∴当t=0，s=1104，r=904时，原式取最小值200；当t=368，s=0，r=536时，原式取最小大值2408.
