专题18直角三角形(吴梅录入)阅读与思考从代数角度，考察方程的正整数解，古希腊人找到了这个方程的全部整数解：其中，是自然数，，，一奇一偶.17世纪，法国数学家提出猜想：当时，方程无正整数解.1994年，美国普林斯顿大学教授维尔斯证明了费尔马猜想.直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：所对的直角边等于斜边的一半.这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.熟悉以下基本图形基本结论：例题与求解【例l】（1）直角△ABC三边的长分别是，和5，则△ABC的周长＝_____________.△ABC的面积＝_____________.（2）如图，已知Rt△ABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD＝_____________.（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（）A.120°B.135°C.150°D.165°\n（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】在证明含有线段平方之间的和（差）关系时，常常要联想到勾股定理，若图中缺少直角条件，则可通过作辅助线，构造直角三角形.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】在运用勾股定理时，常常对进行变形，运用乘法公式、整数与方程知识综合求解.斯特瓦尔特定理：\n如图，设D为△ABC的边BC上任意一点，a，b，c为△ABC三边长，则.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练A级1.在很多情况下，需要由线段的数量关系去判断线段的垂直位置关系，这就要熟悉一些常用的勾股数组.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC＝_____________.2.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，则∠DAB＝_____________.（上海市竞赛试题）4.如图，在△\nABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则BC的长为_____________.（湖北省预赛试题）5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30º，那么这个三角形的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定（山东省竞赛试题）6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为（）A.B.C.D.（福州市中考试题）7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（）A.15分米B.9分米C.8分米D.5分米8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么等于（）A.1B.2C.D.\n9.如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ.（北京市竞赛试题）10.如图，△ABC中，AB＝AC.（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.11.如图，直线OB是一次函数图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积.\n（山西省中考试题）B级1.若△ABC的三边a,b,c满足条件：，则这个三角形最长边上的高为_____________.2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC内的一点，PA＝1，PB＝3，PC＝，则∠CPA＝_____________.3.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为_____________.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）A.CF＞GBB.CF＝GBC.CF＜GBD.无法确定5.在△ABC中，∠B是钝角，AB＝6，CB＝8，则AD的范围是（）A.8＜AC＜10B.8＜AC＜14C.2＜AC＜14D.10＜AC＜14（江苏省竞赛试题）6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个\n（浙江省竞赛试题）7.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积.（四川省联赛试题）8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：（江苏省竞赛试题）9.探索性试题是指问题中的题设条件或结论不完整，从而有深入探讨的余地，存在型命题的探索，是给定条件后，判断所研究的对象是否存在.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，求△ABC面积.（天津市竞赛试题）11.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF＝45°，试推断BE，CF，EF之间数量关系，并说明理由.\n12.已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠MCN＝45°.（1）如图1，当M，N在AB上时，求证：（2）如图2，将∠MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）\n专题18直角三角形例1（1）12或30；6或30；提示：，得；由，得，（2）提示：作DE⊥AB于E，设CD=x，则BE=13-5=8，DE=x，BD=12-x，由，得．例2B提示：过B作BD⊥AC延长线于D点，设CD=x，BD=y，可求得：x=y，则∠BCD=45°，故∠BCA=135°．例3∠ACB=75°提示：过C作CQ⊥AP于Q，连接BQ，则AQ=BQ=CQ．例4提示：过E作EG⊥AB于G，先证明Rt△EAG≌Rt△ABC，再证明△EFG≌△DFA．例5连接AC∵AD=DC，∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形，DC=CA=AD，以BC为边向四边形外作等边三角形BCE，即BC=BE=CE，则∠BCE=∠EBC=∠CEB=60°，∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，连接AE，则，易证△BDC≌△EAC，得BD=AE，故．例6过A作AE⊥BC于E，设DE=x，BD=u，DC=v，AD=t，则，故，，消去x得，即．A级1．142．33．135°4．提示：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则△ACD≌△EBD，∴BE=AC=13，AE=12，又AB=5，则∠BAD=90°，5．D6．C7．C8．B9．提示：△ADC≌△BEA，∠BPQ=60°．10．（1）（2）略（3）提示：AB，AP，BP，CP，之间的关系是11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：；12．10．B级\n1．2．135°提示：将△PAC绕A点顺时针旋转90°，3．32或42提示：分类讨论。4．B5．D6．C提示：设直角三角形两直角边长为a，b（a≤b），则（a，b，k均为正整数），化简得：(ka-4)(ka-b)=8，∴或，解得（k，a，b）=（1，5，12）或（2，3，4）或（1，6，8）．7．提示：连接AD，由△ADE≌△CDF，得ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，．8．提示：延长ED至G，使DG=ED，连接CG，FG，则BE=CG，EF=FG．9．解：设此直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a，b，面积为S，则：由①②得：2<c<3⑤由②得：，把③④代入上式得：3c=9-S，即6<3c<9，而S为整数，从而3c=7或8，若3c=7，则S=2，代入②、④得：，ab=4，次方程1．一副三角板，按图11-2-1所示方式叠在一起，则图中的度数是（）．A．75°B．60°C．65°D．55°2．如图11-2-2所示，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，则∠A的度数为（）A．36°B．72°C．108°D．144°图11—2—1图11—2—23．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）．\nA．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°4．（1）在△ABC中，若∠A﹕∠B﹕∠C=2﹕3﹕4，则∠A=，∠B=，∠C=．（2）在△ABC中，若，则∠C=．（3）若三角形的三个外角的比是2﹕3﹕4，则这个三角形按角分是三角形．5．已知：如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30°，则∠C的度数为．6．已知：如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，则∠ACB=．图11—2—3图11—2—47．如图11-2-5所示，已知∠EGF=∠E+∠F，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．图11—2—58．（1）已知，如图11-2-6所示，AD是高，AE是∠BAC的平分线，是说明：．图11—2—6\n（2）如图11-2-7所示，在△ABC中，已知三条角平分线AD、BE、CF相交于点I，IH⊥BC，垂足为H，∠BID与∠HIC是否相等？并说明理由．图11—2—7能力提升9．在三角形中，最大角的取值范围是（）．A．B．C．D．10．直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是（）．A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对11．如图11-2-8所示，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是（）．A．B．C．D．图11—2—812．已知△ABC的三个内角为∠A、∠B、∠C，且，，，则中，锐角的个数最多为（）A．0B．1C．2D．313．在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大，若∠A减少，∠B增加，∠C增加，则三者之间的关系是．14．在△ABC中，高BD、CE所在的直线相交于点H，且点H与点B、C不重合，∠A=50°，则∠BHC=．15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20°角，则这个三角形的顶角是．16．如图11-2-9所示，在△ABC中，A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，A2B平分∠\nA1BD，A2C平分∠A1CD，A3B平分∠A2BD，A3C平分∠A2CD，若∠A=64°，则∠A3=；依此类推，若∠A=，∠An=．图11—2—917．（1）如图11-2-10所示，在△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线分别交于G1，G2，G3，…，Gn-1，试猜想：∠BGn-1C与∠A的数量关系．（其中n是不小于2的整数）．首先得到：当n=2时，如图（a）所示，∠BG1C=，当n=3时，如图（b）所示，∠BG2C=，…，如图（c）所示，猜想∠BGn-1C=．……（a）（b）（c）（d）图11—2—10（2）如图（d）所示，在四边形ABCD中，BP、CP仍然是∠ABC，∠BCD的角平分线，则∠P与∠A、∠D之间的数量关系为．18．如图11-2-11所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，AG⊥AE，CG是△ABC的外角∠ACF的平分线，若∠G-∠DAE=60°，则∠ACB=．图11—2—1119．阅读材料：如图11-2-12所示，AD与CB相交于O点，在△AOB和△COD中，∠A+\n∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，所以∠A+∠B=∠C+∠D．图形类似数字“8”，所以我们称之为“8”字形．根据上述材料解决下列问题：如图11-2-13所示，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠A=48°，∠C=46°，BE与AD相交于点G，BC与DE相交于点H．（1）仔细观察图11-2-13中有个“8”字形．（2）求∠BED的度数．（3）试探究∠A，∠E，∠C之间的关系．（直接写出结论）图11—2—12图11—2—1320．如图11-2-14所示，已知射线OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON上一动点，（1）若∠ABM，∠BAN的平分线交于点C．问：点B、A在OM、ON上运动过程中，∠C的度数是否改变？若不变，直接写出结论；若改变，说明理由．（2）如图11-2-15所示，若∠ABO、∠BAN的平分线所在的直线相交于点C，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由．\n图11—2—14图11—2—1521．如图11-2-16所示，在△ADE和△ABC中，∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，∠BAD=∠BCF．（1）求∠ECF+∠DAC+∠ECA的度数；（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．图11—2—1622．如图11-2-17（a）所示，在平面直角坐标系中，△DEQ的一个顶点在x轴的负半轴上，边DQ交x轴于点C，且CE平分∠DEQ，过点D作直线交x轴于点B，交y轴于点A，使∠ADE=∠BDC，已知，，其中m，n满足．（1）求点C、E的坐标．\n（2）若∠ABC=30°，求∠Q的度数．（3）如图11-2-17（b）所示，在平面直角坐标系中，若直线AB绕点D旋转，过D作DH⊥AB，交x轴于点G，交y轴于点H，直线AB绕点D转动时，下列结论：①∠Q的大小不变；②的值不变．选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论．（a）（b）图11-2-17中考链接23．（2011·四川绵阳）将一副常规三角尺按图11-2-18所示方式放置，则图中∠AOB的度数为A．75°B．95°C．105°D．120°24．一副三角板叠在一起按图11-2-19所示方式放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度.图11—2—18图11—2—19巅峰突破\n25．如图11-2-20所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAF=，，则射线AF与BG（）A．平行B．延长后相交C．反向延长后相交D．可能平行也可能相交26．如图11-2-21所示，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若，，则∠C=．（用表示）图11—2—20图11—2—21（2）如下图所示，过点G作GM⊥BC于M，连接HF.∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH.∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH.∴∠AHE=∠MFG.又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，∴△AHE≌△MFG.∴GM=AE=2.\n∵BC=12，BF=a，∴FC=12－a.∴.(3)△GFC的面积不能等于2.∵点H在AD上，∴菱形边上EH的最大值为.∴BF的最大值为.又因为的值随着a的增大而减小，所以的最小值为.又∵，∴△GFC的面积不能等于2.第三节梯形基础演练1.C；2.B；3.C；4.D；5.B；6.①②③能力提升7.D；8.B；9.A；10.B；11.3212.如下图所示，作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形AQCED为平行四边形，∴AD=CE.∵AC⊥BD，∴∠BDE=90°.∴梯形的中位线长.∵.\n∴梯形的中位线.13.(1)如下图所示，把等腰梯形的两腰分别延长后可得一个边长为2的等边三角形.所以它可以由一个边长为2的等边三角形，沿着中位线的位置形剪一刀而得.（2）四种.分别用3，4，5个小梯形拼出较大的等腰梯形.①3个梯形，周长为11cm，如下图所示；②4个梯形，周长为10cm，如下图所示；③5个梯形，周长为17cm，如下图所示；④5个梯形，周长为11cm，如下图所示；\n14.（1）∵AB∥DF，∴∠1=∠ADF.∴∠1=∠2，∴∠2=∠ADF.∴EA=ED.又AC=DF，∴EC=EF.∴△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠ADF=∠DFC，∴AD∥CF.又∵CF＜AD，∴四边形ADCF是梯形，∵AC=DF，∴ADCF是等腰梯形.(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF.①∵△ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米）.②AF=3（厘米）.③FC=AC－3.④将②，③，④代入①得：四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC－3)+AF=(AD+DC+AC)－3+3=16（厘米）.15.(1)解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，∴∠ADC=105°.由等边△DCE可知∠CDE=60°，故∠ADE=45°.由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，∴∠AED=45°.（2）证明：如图（a）所示，由（1）知∠AED=45°，∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上.由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上.连接AC，∵∠AED=45°，∴∠BAC=45°.又AB⊥BC，∴∠ACB=45°.∴BA=BC.（3）如图（b）所示，∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°.连接AF，BF，AD的延长线相交于点G，∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，∴∠BFC=75°，故BC=BF.由（2）知：BA=BC，故BA=BF，∵∠ABF=60°，∴AB=BF=FA，又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠FAG=∠G=30°，∴FG=FA=FB.∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，∴△BCF≌△GDF.∴DF=CF，即点F是线段CD的中点.∴.\n16.（1）证明：∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，∴.∴.∴.又∵，∴.（2）当直线经过原矩形顶点D时，如图∵，，∴.∴.即，∴.∴.17.（1）NE=MB且NE⊥MB.（2）成立.理由：如下图所示，连接AE.∵E为CD中点，AB=BC=CD，∴AB=EC.又AB∥CD，即AB∥CE，∴四边形ABCE为平行四边形.∵∠C=90°，∴四边形ABCE为矩形.又AB=BC，∴四边形ABCE为正方形.∴AE=AB.∵等腰直角三角形AMN中，∴AN=AM，∠NAM=90°.\n∴∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.∴△NAE≌△MAB.∴NE=MB.延长NE、BM交于点F.由△NAE≌△MAB可得，∠AEN=∠ABM.∴∠4=∠6.∵∠5=∠6，∴∠4=∠5.又∠EMF=∠BMC，∴∠EFB=∠C=90°.∴BM⊥NE.中考链接18.（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD=5xkm，∴AD+CD+CB=12xkm，∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：.解这个方程得.∴.答：市区公路的长为10km.19.（1）略（2）解：如下图所示，作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°,∴，同理：，∵，，∴，\n而，∴，∴巅峰突破20.(1)10；.（2）如下图(a)、（b）所示.①∵△BEF与梯形ABCD等高，梯形ABCD的高，∴，即；②∵，（为常数），∴.∴.∴.∴，为整数，∴.即BF的长为：1cm、2cm、3cm.21.（1）略.(2)解：如下图所示，延长CD和BE的延长线交于H，\n∵BF⊥CD，∠BEC=90°，∴∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，∴∠EBF=∠ECH，∵BE=CE，∠BEC=∠CEH，∴△BEG≌△CEH（ASA），∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE，∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB.∴∠GED=∠HED，∵ED=ED，∴△GED≌△HED（SAS），∴DG=DH，∴BG=DG+CD，∵DG=2cm，BG=6cm，∴CD=BG－DG=4（cm）第四节线段中点的应用基础演练1.C；2.C；3.B；4.C5.如下图所示，连接CM，AM，∵∠DAB=∠BCD=90°,M为BD中点，∴CM=BD=AM.∴△AMC为等腰三角形.∵N为AC中点，∴MN⊥AC.6.如下图所示，连接PR、PQ，∵△ABC是等边三角形，\n∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°.∵△MPS是等边三角形，∴PS=PM，∠MPS=60°.∵P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，∴.∴PQ=PR.∴∴∠APQ=∠BPR=60°，∴∠RPQ=180°－2×60°=60°.又∵∠QPS=∠MPS－∠MPQ=60°－∠MPQ，∠RPM=∠RPQ－∠MPQ=60°－∠MPQ，∴∠QPS=∠RPM.∴△PRM≌△PQS.∴PM=QS.7.△AGD是直角三角形如下图所示，连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HE=AB.∴∠1=∠3.同理，HE∥CD，HE=CD.∴∠2=∠EFC.∵AB=CD，∴HF=HE，∴∠1=∠2，∵∠EFC=60°.∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.\n∴△AGF是等边三角形.∴AF=GF.∴GF=FD.∴∠FGD=∠FDG=30°.∴∠AGD=90°.即△AGD是直角三角形.能力提升8.9.10.∵点E、F分别是AD、AB的中点，∴EF∥BD，∴EF=BD，∴∠FCD=∠CFE，在△ABC中，∠ACB=90°.∵E是AD的中点，∴CE=AD.∵AD=BD，∴EF=CE.∴∠ECF=∠CFE.∴∠FCD=∠ECF.即CF是∠ECB的平分线.11.如下图所示，取AD中点G，连接EG、FG，∵E是AC的中点，∴EG是△ACD的中位线.∴EG=CD.同理可证：FG=AB.在△EFG中，.∴.12.∵点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，∴FG∥BC，FE∥AC，FE=AC.∴FG∥ED.∵FE∥AC，DG与AC是相交的，∴DG与EF不平行.∴四边形EFGD是梯形.\n∵AD是三角形的高，∴△ADC是直角三角形.∵DG是斜边上的中线，∴DG=AC.∴DG=EF.∴梯形EFGD是等腰梯形.13.（1）如图（a）所示，连接CF，线段CF与FE之间数量关系是；（2）（1）中的结论仍然成立.如图（b）所示，连接CF，延长EF交CB于点G，①先送2根，再送4根，二次共走行驶：米；②先送4根，再送2根，二次共行驶：米；（2）两次各送3根时，所行路程为米.故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：故所用最少油费为元\n例6如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.点P到BC，CA，AB的距离分别为，连接PA，PB，PC，由三角形的面积公式知：.即.显然有.故.当时，有，即取最大值时，P与A重合；当时，有，即取最小值时，P与C重合.A级1.27原式=2.63.15°提示：4.提示：，∴，又把\n代入中，得，∴.故.5.D6.B7.A8.B9.设，则.∴均为非负实数.∴，解得：.故.∴，即，所以的最小值是19，最大值是.10.20套.1800元.提示：设生产L型号的童装套数为，则生产M型号的童装为套，所得利润.由得，.11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为17952，图略.B级1.27当时，的值最大.2.102提示：.3.1157提示：.4.B，D，E93.62百元5.13800元提示：设由甲库调运x吨粮食到B市，总运费为y元，则\n6.C提示：.故.7.B提示：设，则.故.8.（1）..当或时，取最大值2003001.当中恰有1001个1，1001个时，取最小值.（2）因为大于2002的最小完全平方数为，且必为偶数，所以或；即中恰有1024个1，978个或1024个，978个1时，m取得最小值.9.由条件得：，以上各式相加，得，故.由已知都是偶数，因此.另一方面，当，时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的最小值是.10.仓库地址应选在C处，假定仓库另选一地O，设\n（单位：千米），又假定A厂产量为，B厂产量为，C厂产量为，（单位：吨）.仓库在O处的总运费可表示为；仓库在C处的组无解，这种情况不可能；若，则，代入②、④得，解得，而，且.故这样的直角三角形存在，且只有一个.10.15提示：将三△ADC，△ADB分别沿AC，AB折叠至△AEC，△AFB.延长FB，EC交于G，设AD=，则AE=AF=，FB=BD=3,易证:四边形AFGE为正方形，EC=DC=2.∴，即.解得：.∴\n11.提示：将△BAE绕A点旋转90°得，连接，则，.12.（1）将△ACM沿直线CM对折，得△DCM，连DN.∵△DCM≌△ACM，∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A.又∵CA=CB，∴CD=CB.由∠DCN=∠MCN－∠DCM=45°－∠DCM，∠BCN=∠ACB－∠MCN－∠ACM=90°－45°－∠ACM=45°－∠ACM，得∠DCN=∠BCN，又CN=CN，∴△CDN≌△CBN.∴DN=BN，∠CDN=∠B，∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°.在Rt△MDN中，，即.（2）关系式仍成立，同理可证.
