二次函数综合加强练习二三、角度问题（45度角，倍角关系问题）5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．5）【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴y=﹣x2﹣x+2；（2）①如图，令y=0，∴﹣x2﹣x+2=0，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴==，设D（a，﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1，0），∴N（1，），∴==（a+2）2+；∴当a=﹣2时，的最大值是；②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（﹣，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，\n∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴xD=﹣2，情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3k，∴RC=k，RG=k，DR=3k﹣k=k，∴==，∴a1=0（舍去），a2=﹣，点D的横坐标为﹣2或﹣．7、（45o和倍角问题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在抛物线上，∠PAC=45o求点P的坐标。变1：点P在抛物线的对称轴上，∠APC=45o求点P的坐标（3）点P在抛物线上，且∠PBC＝∠ACO，求点P的坐标．变2：点P在抛物线上，且∠BPC＝∠ACO，求点P的坐标（计算量太大，不做）（4）点P在抛物线上，且∠PAC＝2∠ACO，求点P的坐标变3：点P在抛物线上，且∠PCO＝2∠ACO，求点P的坐标\n\n\n\n\n（4）变3：点P在抛物线上，且∠PCO＝2∠ACO，求点P的坐标\n四、相似问题6、抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．6）【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2﹣x+3；（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN=t+3﹣（t2﹣t+3）=﹣（t﹣）2+\n联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，则CE=t，DF=7﹣t，∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN•CE+PN•DF=PN=[﹣（t﹣）2+]=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，△PCD的面积有最大值，最大值为；②存在．∵∠CQN=∠PMB=90°，∴当△CNQ与△PBM相似时，有或=两种情况，∵CQ⊥PM，垂足为Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，∴=，∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣t+3）=﹣t2+t﹣3，当时，则PM=BM，即﹣t2+t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，﹣）；当=时，则BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+t﹣3），解得t=或t=5（舍去），此时P（，﹣）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（，﹣）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标表示出△PCD的面积是解题的关键，在（2）②中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．8、如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由；（3）P是抛物线对称轴上的一动点，Q是平面上一动点，当A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形时，试求动点Q的坐标．\n8）解：（1）∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B（0，2）；当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0）；∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），∴解得，∴y=﹣x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2（2）存在．如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，∴C（1，0），∴OC=1．∵B（0，2），∴OB=2．当△BOC∽△MON时，∴，∴，解得a1=1，a2=﹣2.∴M（1，2）或（﹣2，﹣4）；如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或，∴M（，）或（，）．又∵M在第一象限，∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；（3）设P（1/2，t），而A（-1，0），B（0，2）如图3，当AB⊥BP1，可得P1（1/2，7/4）（此处方法有勾股定理、三垂直、K1∙K2）因为四边形A,B，P，Q是矩形，BQ和AP1中点重合，故故Q1（-1/2，-1/4）当AB⊥AP2同理可得：P1（1/2，-3/4）因为四边形A,B，P，Q是矩形，BP2和AQ中点重合，故故Q2（3/2，5/4）如图4，当AP3⊥BP3同理可得：P3（1/2，1/2）或（1/2，3/2）因为四边形A,B，P，Q是矩形，AB和P3Q中点重合，同理可得：Q3（-3/2，3/2）或（-3/2，1/2）综上所述：Q1（-1/2，-1/4），Q2（3/2，5/4），Q3（-3/2，3/2），Q4（-3/2，1/2）\n（直击中考203面4）(2019·襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．(1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－x＋3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，故点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,3)，抛物线的对称轴为x＝1，则点A(－4,0)，则抛物线的表达式为：y＝a(x－6)(x＋4)＝a(x2－2x－24)，即－24a＝3，解得a＝－，故抛物线的表达式为：y＝－x2＋x＋3.…①(2)过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，直线BC的表达式为y＝－x＋3，则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝＝＝tanα，则cosα＝.设点P(x，－x2＋x＋3)，则点G(x，－x＋3)，则PH＝PGcosα＝(－x2＋x＋3＋x－3)＝－x2＋x.∵－＜0，故PH有最小值，此时x＝3，则点P(3，)．(3)①当点Q在x轴上方时，则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q(2,3)．②当点Q在x轴下方时，Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则∠ACB＝∠Q′AB．当∠ABC＝∠ABQ′时，直线BC表达式的k值为－，则直线BQ′表达式的k值为，设直线BQ′表达式为：y＝x＋b，将点B的坐标代入上式并解得：直线BQ′的表达式为：y＝x－3.②联立①②并解得x＝6或－8(舍去6)，故点Q(Q′)坐标为(－8，－7)(舍去)．\n当∠ABC＝∠ABQ′时，同理可得：直线BQ′的表达式为：y＝x－.③联立①③并解得x＝6或－10(舍去6)，故点Q(Q′)坐标为(－10，－12)，由点的对称性，另外一个点Q的坐标为(12，－12)．综上，点Q的坐标为：(2,3)或(12，－12)或(－10，－12)．
