限时练(六) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A＝{x∈R|x2＝x}，B＝{x∈R|x3＝x}，则集合A∪B的子集个数为( )A.1B.2C.4D.8解析 A＝{0，1}，B＝{x|－1，0，1}，∴A∪B＝{－1，0，1}，∴其子集为23＝8个.答案 D2.在复平面内复数，对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A.1B.C.iD.i解析 ＝＝，＝＝，由中点坐标公式可得点C对应的复数为.答案 B3.设函数f(x)＝sin2－cos2(x∈R)，则函数f(x)是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数解析 ∵函数f(x)＝sin2－cos2＝－cos2＝－cos＝sin2x，∵ω＝2，∴函数f(x)的最小正周期T＝π，又∵f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)故f(x)为奇函数，故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数.6\n答案 A4.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.m3B.m3C.m3D.m3解析 该几何体是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为3×13＋×13＝.答案 C5.曲线y＝x与y＝围成的图形的面积为( )A.B.C.D.解析 联立因为x≥0，所以解得x＝0或x＝1，所以曲线y＝x与y＝所围成的图形的面积S＝(－x)dx＝|＝－＝.答案 C6.设向量a，b均为非零向量，(a＋2b)⊥a，(b＋2a)⊥b，则a，b的夹角为( )A.B.C.D.解析 ∵(a＋2b)⊥a，(b＋2a)⊥b，∴(a＋2b)·a＝0，(b＋2a)·b＝0，即a·b＝－a2＝－b2，∴cos〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.答案 D7.如果双曲线－＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方程为y＝±x，则椭圆＋＝1的离心率为( )A.B.C.D.6\n解析 由题意，＝，∴m＝4n，∴椭圆＋＝1中，a2＝m＝4n，b2＝n，c2＝m－n＝4n－n＝3n，∴e＝＝＝.答案 A8.若α是锐角，且cos＝－，则sinα的值等于( )A.B.C.D.解析 ∵α是锐角，∴＜α＋＜，又cos＝－，∴sin＝.∴sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.答案 A9.某学校对高一新生的体重进行了抽样调查，如图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重(单位：kg)的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70).已知被调查的学生中体重不足55kg的有36人，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是( )A.90B.75C.60D.45解析 由题意知被调查的学生中体重不足55kg的频率是(0.04＋0.02)×5＝0.3，∴样本容量是＝120，∴被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是(0.04＋0.06＋0.05)×5×120＝90.答案 A10.已知a＞0，则f(x)＝lg(ax2－bx－c)的值域为R的充要条件是( )6\nA.∃x0∈R，ax≥bx0＋cB.∃x0∈R，ax≤bx0＋cC.∀x∈R，ax2≥bx＋cD.∀x∈R，ax2≤bx＋c解析 a＞0，则f(x)＝lg(ax2－bx－c)的值域为R，令g(x)＝ax2－bx－c，∴g(x)＝ax2－bx－c的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝(－b)2－4a(－c)＝b2＋4ac≥0，即方程ax2－bx－c＝0有实数根，即g(x)与x轴有交点，也即∃x0∈R，ax－bx0－c≤0；反之，若∃x0∈R，ax≤bx0＋c，说明存在x0使得g(x)＝ax2－bx－c＜0，又a＞0，开口向上，g(x)与x轴有交点，可得Δ≥0，所以f(x)＝lg(ax2－bx－c)的值域为R.故f(x)＝lg(ax2－bx－c)的值域为R的充要条件是：∃x0∈R，ax≤bx0＋c.答案 B11.已知(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝( )A.－8B.8C.－16D.16解析 ∵(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，∴两端求导得8(1－2x)7×(－2)＝a1＋2a2x＋…＋8a8x7，令x＝1，得a1＋2a2＋…＋8a8＝16.答案 D12.设x，y满足时，则z＝x＋y既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是( )A.a＜1B.－＜a＜1C.0≤a＜1D.a＜0解析 满足的平面区域如图所示：而x－ay≤2表示直线x－ay＝2左侧的平面区域，∵直线x－ay＝2恒过(2，0)点，当a＝0时，可行域是三角形，z＝x＋y既有最大值也有最小值，满足题意；当直线x－ay＝2的斜率满足＞1或＜－2，6\n即－＜a＜0或0＜a＜1时，可行域是封闭的，z＝x＋y既有最大值也有最小值，综上所述，实数a的取值范围是－＜a＜1.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝3c2，则cosC的最小值为________.解析 在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2＝c2＋2abcosC，①又a2＋b2＝3c2，∴c2＝(a2＋b2)代入①式有：a2＋b2＝(a2＋b2)＋2abcosC，∴cosC＝≥＝(当且仅当a＝b时取“＝”).∴cosC的最小值为.答案 14.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形.若PA＝2，则△OAB的面积为________.解析 根据球的内接四棱锥的性质求解.如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝2，所以AC＝2.又PA＝2，所以PC2＝PA2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝4，所以OA＝OB＝2，所以△AOB是正三角形，所以S＝×2×2×＝3.答案 315.甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为6\n________.解析 设四门选修课分别为a，b，c，d.甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门分别有以下6种情况：ab，ac，ad，bc，bd，cd.所以共有C×C＝36个基本事件.则“两人所选课程中恰有一门相同”共有基本事件的个数为C×C×C＝24.设两人所选课程中恰有一门相同的事件为A，则P(A)＝＝.答案 16.若关于x的方程＝kx2有四个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解析 由于关于x的方程＝kx2有四个不同的实根，x＝0是此方程的一个根，故关于x的方程＝kx2有3个不同的非零的实数解.∴方程＝有3个不同的非零的实数解，即函数y＝的图象和函数g(x)＝的图象有3个交点，画出函数g(x)图象，如图所示，故0＜＜1，解得k＞1.答案 (1，＋∞)6
