限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝，则z＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析 因为z＝＝＝1＋i，所以z＝1－i，故选B.答案 B2.已知集合M＝{x||x|≤1}，N＝{x|2x<1}，则M∩N＝( )A.[－1，0)B.[0，1)C.(－∞，0]D.(－∞，1]解析 由题意得M＝[－1，1]，N＝(－∞，0)，所以M∩N＝[－1，0)，故选A.答案 A3.已知a<0，0<b<1，则下列结论正确的是( )A.a>abB.a>ab2C.ab<ab2D.ab>ab2解析 由题意得ab－ab2＝ab(1－b)<0，所以ab<ab2，故选C.答案 C4.已知<α<π，sinα＝，则tanα＝( )A.B.－C.2D.－2解析 由题意得cosα＝－＝－，所以tanα＝＝－2，故选D.答案 D5.已知点A(－1，2)，B(3，4)，若＝2a，则向量a＝( )A.(－2，－1)B.(1，3)C.(4，2)D.(2，1)解析 设a＝(x，y)，则由题意得2a＝＝(4，2)，即解得x＝2，y＝1，所以a＝(2，1)，故选D.答案 D6.执行如图所示的程序框图后，输出S的值是( )5\nA.2B.C.－3D.－解析 由程序框图得各次循环得到的S的值为－3，－，，2，－3，－，…，以4为周期，当i＝2016时，输出S＝，故选B.答案 B7.已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊂α，m∥n，则n∥αC.若m⊥α，α⊥β，则m∥βD.若m⊥α，n∥α，则m⊥n解析 对于A，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，A错误；对于B，若m⊂α，m∥n，则n∥α或n⊂α，B错误；对于C，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，C错误；对于D，由n∥α得在平面α内存在直线n′⊂α，使得n∥n′，又因为m⊥α，所以m⊥n′，所以m⊥n，D正确.综上所述，正确的结论为D，故选D.答案 D8.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝60°，a＝2，b＝2，则c＝( )A.4B.2C.2D.2－2解析 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即12＝4＋c2－2×2×c×，解得c＝4，故选A.答案 A9.若把长度为8的铁丝围成一个矩形框，则这个矩形框的面积大于3的概率为( )A.B.C.D.解析 设矩形的一边长为x，则矩形框的面积S＝x＝－x2＋4x(0<x<4)，令S＝3，解得x＝1或x＝3，所以当矩形框的面积大于3时，x5\n的取值范围为(1，3)，所以所求的概率P＝＝，故选B.答案 B10.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截后得到的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.B.7C.D.解析 由三视图得几何体为边长为2的正方体截去两个底面为直角边长为1，高为2的三棱锥后剩余的部分，则其体积为23－2××2××1×1＝，故选C.答案 C11.设实数x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为( )A.8B.4C.9D.3解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易得当目标函数经过平面区域内的点A(2，4)时，z＝ax＋by取得最大值6，即2a＋4b＝6，a＋2b＝3，则＋＝(a＋2b)·＝≥＝3，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以＋的最小值为3，故选D.答案 D12.已知函数f(x)＝且方程f2(x)－af(x)＋2＝0恰有四个不同的实根，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)5\nB.(2，3)C.(2，3)D.(2，4)解析 画出函数f(x)的图象如图所示，若方程f2(x)－af(x)＋2＝0有四个不同的实数根，令f(x)＝t，只需t2－at＋2＝0，t∈(1，2]有两个不同实根.则解得2<a<3，故选B.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.命题“∀x>0，ex－x－1≥0”的否定是________.解析 全称命题的否定为特称命题，所以命题∀x>0，ex－x－1≥0的否定为∃x>0，ex－x－1<0.答案 ∃x>0，ex－x－1<014.已知a＝(2，2)，b＝(1，－1)，且(a－b)⊥(a＋λb)，则实数λ＝________.解析 由题意得a－b＝(1，3)，a＋λb＝(2＋λ，2－λ)，又因为(a－b)⊥(a＋λb)，所以(a－b)·(a＋λb)＝0，即1×(2＋λ)＋3×(2－λ)＝0，解得λ＝4.答案 415.已知三棱锥P－ABC的底面是边长为6的正三角形，PA＝PB＝PC＝4，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________.解析 设三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，在底面ABC内的投影为O′，则O′为三角形ABC的内心，且OO′的延长线经过点P，则由题意得PO′＝2，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R满足R2＝(R－2)2＋(2)2，解得R＝4，则外接球的表面积S＝4πR2＝64π.答案 64π16.已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x－2，给出以下命题：①若直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，则实数a的取值范围是(－2，2)；②若函数y＝f(x)＋3bx不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是(1，＋∞)；③过点M(0，2)且与y＝f(x)相切的直线有三条；④方程f(x)＝的所有实根的和为16.其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).5\n解析 由题意得f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，所以函数f(x)在x＝1处取得极大值2，在x＝3处取得极小值－2，画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图易得若直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则实数a的取值范围是(－2，2)，①正确；因为y＝f(x)＋3bx＝x3－6x2＋(9＋3b)x－2，则y′＝3x2－12x＋9＋3b，若函数y＝x3－6x2＋(9＋3b)x－2不存在单调递减区间，则有122－12(9＋3b)≤0，解得b≥1，所以②错误；设过点M(0，2)的直线与y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则有3x－12x0＋9＝，又因为点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，所以y0＝x－6x＋9x0－2，代入上式得2x－6x＋4＝(x0－1)[x0－(1＋)][x0－(1－)]＝0，解得x0＝1或x0＝1＋或x0＝1－，所以过点M(0，2)的直线与y＝f(x)相切的直线有三条，③正确；由题意得函数f(x)＝x3－6x2＋9x－2关于点(2，0)中心对称，且g(x)＝也关于点(2，0)中心对称，所以方程f(x)＝的所有实数根的和为2×2×2＝8，④错误.综上所述，真命题的序号为①③.答案 ①③5
