此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2022届高三第一次模拟考试卷文科数学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·攀枝花统考]已知集合，，则集合（）A．B．C．D．2．[2022·铜仁一中]若复数，则（）A．B．C．D．3．[2022·青岛调研]如图，在正方体中，为棱的中点，用过点，，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）A．B．C．D．4．[2022·鄂尔多斯期中]若，是第三象限角，则（）A．B．C．D．5．[2022·蓝圃学校]甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为，且．若，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．6．[2022·赣州期中]已知点，，若圆上恰有两点，，使得和的面积均为5，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．[2022·东北育才]已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．8．[2022·陕西四校联考]设函数，则（）A．在单调递增，其图象关于直线对称B．在单调递增，其图象关于直线对称C．在单调递减，其图象关于直线对称D．在单调递减，其图象关于直线对称59．[2022·三湘名校]中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2263用算筹表示就是=||丄|||．执行如图所示程序框图，若输人的，，则输出的用算筹表示为（）A．B．C．D．10．[2022·开封月考]已知空间四边形，，，，且平面平面，则空间四边形的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．[2022·清华附中]已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（）A．B．C．D．212．[2022·湛江一中]已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2022·廊坊联考]已知向量，，且，则__________．14．[2022·湖北七校联盟]若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________．15．[2022·贵州质检]设的内角，，的对边分别为，，，若，且的面积为25，则周长的最小值为__________．16．[2022·西宁四中]已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，是坐标原点，则_________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2022·长春实验中学]已知数列是公差为的等差数列，若，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求满足成立的的最小值．18．（12分）[2022·南白中学]某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第1次第2次第3次第4次次5收费比例1该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元．根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）该公司从至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品．求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．19．（12分）[2022·赤峰二中]如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为等腰直角三角形，．（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，求的面积．20．（12分）[2022·雅礼中学]已知椭圆的离心率为，为左焦点，过点作轴的垂线，交椭圆于，两点，．（1）求椭圆的方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线交椭圆于，两点，为坐标原点，问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．521．（12分）[2022·石嘴山三中]已知函数，，其中．（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）若对任意的，（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2022·江师附中]在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数，）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）已知与的交于，两点，且过极点，求线段的长．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2022·肇庆统测]已知，．（1）求不等式的解集；（2）若对任意的，，恒成立，求的取值范围．552022届高三第一次模拟考试卷文科数学（三）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由一元二次方程的解法化简集合，，∵，∴，故选B．2．【答案】B【解析】∵，∴，故选B．3．【答案】C【解析】取中点，连接，．平面为截面．如下图：∴选C．4．【答案】D【解析】∵，是第三象限角，∴，则．故选D．5．【答案】A【解析】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有（种）猜字结果，其中满足的有：当时，，1；当时，，1，2；当时，，2，3；当时，，3，4；当时，，4，5；当时，，5，6；当时，，6，7；当时，，7，8；当时，，8，9；当时，，9，共有种，∴他们“心有灵犀”的概率为，故选A．6．【答案】B【解析】由题意可得，根据和的面积均为5，可得两点，到直线AB的距离为2，由于的方程为，若圆上只有一个点到圆的距离为2，则有圆心到直线的距离，若圆上只有三个点到圆的距离为2，则有圆心到直线的距离，∴实数的取值范围是，故选B．7．【答案】A【解析】∵，令，，当时，，单调递增，则单调递减，当时，，单调递减，则单调递增，且，故选A．8．【答案】D【解析】∵．由于的对称轴为，∴的对称轴方程是，∴A，C错误；的单调递减区间为，即，函数在上单调递减，∴B错误，D正确．故选D．9．【答案】C【解析】第一次循环，，，；第二次循环，，，；第三次循环，，，；第四次循环，，，满足，推出循环，输出，∵1764对应，故选C．10．【答案】A【解析】由余弦定理得，∴．由正弦定理得，∴，∴三角形的外接圆半径为．设外接球的球心为，半径为，球心到底面的距离为，设三角形的外接圆圆心为，的中点为，过点作，连接，，．在直角中，（1），在直角中，（2），解（1）（2）得，．∴外接球的表面积为．故选A．11．【答案】A【解析】根据题意，做出图像如下图所示∵，，设，，由双曲线定义可知，即，在中，由勾股定理可知，即，联立方程得，化简得，故选A．12．【答案】C【解析】令，∵时，，∴在递增，∵，∴，∴是奇函数，在递增，∵，∴时，，时，，根据函数的奇偶性，，时，，时，，综上所述，不等式的解集为或．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】由向量，，可得，∵，则，即的．14．【答案】【解析】为奇函数，则，∴，，∴，又，曲线在点处的切线方程为，即．15．【答案】【解析】在中，由余弦定理可得：，即，即，即，∴三角形的面积为，则的周长为，当时取得等号，∴的周长最小值为．16．【答案】【解析】设到准线的距离等于，由抛物线的定义可得，由可得为等腰直角三角形．设点，∵准线方程为，，∴，∴，∴，∴．故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）5．【解析】（1）∵，，成等比数列，∴，解得，∴．（2）由题可知，，显然当时，，，又∵时，单调递增，故满足成立的的最小值为5．18．【答案】（1）；（2）元；（3）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第1次消费时，公司获得利润为（元），第2次消费时，公司获得利润为（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）至少消费两次的会员中，消费次数分别为2，3，4，5的比例为，∴抽出的8人中，消费2次的有4人，设为，，，，消费3次的有2人，设为，，消费4次和5次的各有1人，分别设为，，从中取2人，取到的有：，，，，，，共7种；去掉后，取到的有：，，，，，共6种；去掉，，，，，后，取到的有：共1种；总的取法有种，其中恰有1人消费两次的取法共有：种，∴抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵平面平面，平面平面，∴平面．又∵，∴平面．∵平面，∴，又为等腰直角三角形，∴，∴，∴平面，又∴平面，∴，（2）设，则，过作于，则．又平面平面，平面平面，∴平面．又∵，∴．∴，∴，∴中，．∴中，．20．【答案】（1）；（2）0．【解析】（1）∵离心率为，则．∴．∵，∴．∴，．则椭圆的标准方程为．（2）当切线斜率不存在时，取切线为时，代入椭圆方程是，，或，．∴，同理，取切线为时，．当切线斜率存在时，设切线，则，∴．①联立．设，，则，，④把①②③代入④得，∴．综合以上，为定值0．21．【答案】（1）函数的单调递减区间为，；（2）．【解析】（1）当时，，解得或，则函数的单调递减区间为，；（2）对任意的，都有成立等价于在定义域内有．当时，．∴函数在上是增函数．∴，∵，且，．①当且时，，(仅在且时取等号)∴函数在上是增函数，∴．由，得，又，∴不合题意．②当时，若，则，若，则．∴函数在上是减函数，在上是增函数．∴．由，得，又，∴．③当且时，，(仅在且时取等号)∴函数在上是减函数．∴．由，得，又，∴．综上所述：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）为以为圆心，以为半径的圆，；（2）．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数，）．∴的普通方程为，∴为以为圆心，以为半径的圆，由，，，得的极坐标方程为．（2）解法一：∵曲线．∴，，二者相减得公共弦方程为，∵过极点，∴公共弦方程过原点，∵，∴，∴公共弦方程为，则到公共弦的距离为．∴．解法二：∵，∴与为的同解方程，∴，或．∴．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）法一：不等式，即．可得，或或，解得，∴不等式的解集．法二：，当且仅当即时等号成立．∴不等式的解集为．（2）依题意可知，由（1）知，，∴，由的的取值范围是．
