专训一：线段或角的计数问题名师点金： 1.几何计数问题应用广泛，解决方法是“有序数数法”，数数时要做到不重复、不遗漏．2．解决计数类问题时有时要用到分类讨论思想及从特殊到一般的思想．3．回顾前面线段、直线的计数公式，比较这些计数公式的区别与联系．线段条数的计数问题1．先阅读文字，再解答问题．(第1题)如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可得到3条线段，其中以A1为左端点的线段有2条，以A2为左端点的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有________________________________________________________________________条，以A3为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)；(2)在一条直线上取五个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有________条，以A3为左端点的线段有________条，以A4为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＋______＝______(条)；(3)在一条直线上取n个点(n≥2)，共有________条线段．(4)某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛(每两个班赛一场)，那么该校七年级这6个班的辩论赛共要进行多少场？(5)乘火车从A站出发，中间经过5个车站后方可到达B站，那么A，B两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？平面内直线相交所得交点与平面的计数问题215,．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示．(第2题)列表如下：直线条数最多交点个数平面最多分成部分数102214337………(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成________部分，可写成和的形式为________；(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分；(3)当直线条数为n(n≥2)时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？关于角的个数的计数问题3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，已知∠BAC，如果过角的顶点A：(1)如图①，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？(2)如图②，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？(3)如图③，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？(4)在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？(第3题)15,专训二：分类思想在线段和角的计算中的应用名师点金：解答有关点和线的位置关系、线段条数或长度、角的个数或大小等问题时，由于题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，就应不重不漏地分情况加以讨论，这种思想称为分类讨论思想．需要进行分类讨论的题目，综合性一般较强．)分类思想在线段的计算中的应用1．已知线段AB＝12，在AB上有C，D，M，N四点，且AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，AM＝AC，DN＝DB，求线段MN的长．2．如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.(1)若点P在数轴上(不与A，B重合)，且PA＋PB＝6，求点P对应的数；(2)若点M在数轴上(不与A，B重合)，且MA∶MB＝1∶3，求点M对应的数；(3)若点A的速度为5个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，点O的速度为1个单位长度/秒，A，B，O同时向右运动，几秒后，点O恰为线段AB的中点？(第2题)15,分类思想在角的计算中的应用3．如图，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°.(1)求∠AOB的度数；(2)过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数．(第3题)4．已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.(1)如图，若OC在∠AOB内部，探究∠MON与∠AOB的数量关系；(2)若OC在∠AOB外部，且OC不与OA，OB重合，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系．(提示：分三种情况讨论)(第4题)15,专训三：几种常见的热门考点名师点金：本章知识从大的方面可分为两部分，第一部分是立体几何的初步知识，第二部分是平面图形的认识，这些都是几何学习的基础．本章主要考查立体图形的识别，图形的展开与折叠，直线、射线、线段及角的有关计算．立体图形的平面展开图是中考中常见考点，通常以选择，填空形式呈现．立体图形的识别1．在①球体；②柱体；③圆锥；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体(指由四个或四个以上多边形所围成的立体图形)的是( )A．①②③④⑤ B．②和③C．④D．④和⑤2．如图所示的立体图形中，是柱体的是________．(填序号)(第2题)图形的展开与折叠3．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒(如图)，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的表面展开图可能是( ) (第3题)4．如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体15,(第4题)的容积是(包装材料厚度不计)( )A．40×40×70B．70×70×80C．80×80×80D．40×70×80直线、射线、线段5．下列关于作图的语句中正确的是( )A．画直线AB＝10厘米B．画射线OB＝10厘米C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交6．如图，已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的长度之比为( )(第6题)A．3∶4 B．2∶3 C．3∶5 D．1∶27．开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为________________________．8．乘火车从A站出发，沿途经过4个车站方可到达B站，那么需要安排________种不同的车票．9．如图，已知AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，求AB，CD的长．(第9题)15,角及角的有关计算10．有下列说法：(1)两条射线所组成的图形叫做角；(2)一条射线旋转而成的图形叫做角；(3)两边成一条直线的角是平角；(4)平角是一条直线．其中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．411．4点10分，时针与分针的夹角为( )A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对12．如图所示，两块三角板的直角顶点O重合在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是________度．(第12题)15,13．若一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角的度数为________．14．如图，O是直线AB上一点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE平分∠AOC，∠BOC∶∠AOE∶∠AOD＝2∶5∶8，求∠BOD的度数．(第14题)数学思想方法的应用a．数形结合思想15．往返于A，B两个城市的客车，中途有三个停靠站．(1)共有多少种不同的票价(任何两站票价均不相同)?(2)要准备多少种车票？b．方程思想16．互为补角的两个角的度数之比是5∶4，这两个角的度数分别是多少．15,17．如图，C，D，E将线段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN＝21，求线段PQ的长度．(第17题)c．分类讨论思想18．已知同一平面内四点，过其中任意两点画直线，仅能画4条，则这四个点的位置关系是( )A．任意三点不在同一条直线上B．四点在同一条直线上C．最多三点在同一条直线上D．三点在同一条直线上，第四点在这条直线外19．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，若OD平分∠AOC，则∠BOD等于________．d．转化思想2015,．如图所示，一观测塔的底座部分是四棱柱，现要从下底面A点修建钢筋扶梯，经过点M，N到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB＝BC＝CD，试确定使扶梯的总长度最小的点M，N的位置．(第20题)15,答案专训一1．解：(1)3；2；1；3；2；1；6 (2)4；3；2；1；4；3；2；1；10 (3)(4)七年级进行辨论赛的有6个班，类似于一条直线上有6个点，每两个班赛一场，类似于两点之间有一条线段，那么七年级这6个班的辩论赛共要进行＝15(场)．(5)从A站出发，中间经过5个车站后方可到达B站，类似于一条直线上有7个点，此时共有线段＝21(条)，即A，B两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A，B两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．2．解：(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5(2)45；56(3)当直线条数为n(n≥2)时，最多有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(个)交点；把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝部分．3．解：(1)显然这条射线会和∠BAC的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角．(2)再在图①的角的内部增加一条射线，即为图②，显然这条射线会和图①中的三条射线再组成三个角，所以图②中共有1＋2＋3＝6(个)角．(3)在角的内部作三条射线，即在图②中再增加一条射线，同样这条射线会和图②中的四条射线再组成四个角，所以图③中共有1＋2＋3＋4＝10(个)角．(4)综上可知，如果在一个角的内部作n条射线，则图中共有1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝(个)角．专训二1．解：因为AB＝12，AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，所以AC＝AB＝12×＝2，CD＝AB＝12×＝4，DB＝AB＝12×＝6.因为AM＝AC，DN＝DB，15,所以MC＝AC＝2×＝1，DN＝DB＝6×＝.①当点N在点D右侧时，如图①，MN＝MC＋CD＋DN＝1＋4＋＝；(第1题)②当点N在点D左侧时，如图②，MN＝MC＋CD－DN＝1＋4－＝.综上所述，线段MN的长为或.点拨：首先要根据题意，画出图形．由于点N的位置不确定，故要考虑分类讨论．2．解：(1)①当点P在A，B之间时，不合题意，舍去；②当点P在A点右边时，点P对应的数为2；③当点P在B点左边时，点P对应的数为－4.(2)①当点M在线段AB上时，点M对应的数为0；②当点M在线段BA的延长线上时，点M对应的数为3；③当点M在线段AB的延长线上时，不合题意，舍去．(3)设运动x秒时，点B运动到点B′，点A运动到点A′，点O运动到点O′，此时O′A′＝O′B′，点A′，B′在点O′两侧，则BB′＝2x，OO′＝x，AA′＝5x，所以点B′对应的数为2x－3，点O′对应的数为x，点A′对应的数为5x＋1，所以O′A′＝5x＋1－x＝4x＋1，O′B′＝x－(2x－3)＝3－x，所以4x＋1＝3－x，解得x＝0.4.即0.4秒后，点O恰为线段AB的中点．3．解：(1)设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，由题意得90°－2x＋30°＝x，解得x＝40°.所以∠BOC＝40°.因为∠AOC＝2∠BOC，所以∠AOB＝∠BOC＝40°.(2)情况一：当OD在∠AOC内部时，如图①，由(1)易得∠AOC＝80°.15,因为∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝80°－20°＝60°.(第3题)情况二：当OD在∠AOC外部时，如图②，由(1)易得∠AOC＝80°.因为∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，所以∠COD＝∠AOD＋∠AOC＝20°＋80°＝100°.综上所述，∠COD的度数为60°或100°.4．解：(1)因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC.所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝∠AOC＋∠BOC＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB.(2)情况一：如图①，因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC＝(∠AOB＋∠BOC)，∠NOB＝∠BOC.所以∠MON＝∠MOB＋∠NOB＝∠MOC－∠BOC＋∠BOC＝∠MOC－∠BOC＝(∠AOB＋∠BOC)－∠BOC＝∠AOB.(第4题)情况二：如图②，因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，15,所以∠AOM＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC＝(∠AOB＋∠AOC)＝∠AOB＋∠AOC.所以∠MON＝∠AOM＋∠AON＝∠AOC＋(∠NOC－∠AOC)＝∠NOC－∠AOC＝∠AOB＋∠AOC－∠AOC＝∠AOB.情况三：如图③，因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC.所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝∠AOC＋∠BOC＝(∠AOC＋∠BOC)＝(360°－∠AOB)＝180°－∠AOB.综上所述，∠MON与∠AOB的数量关系是∠MON＝∠AOB或∠MON＝180°－∠AOB.专训三1．D 2.②③ 3.C 4.D 5.D 6.A7．两点确定一条直线 8.309．解：因为BD＝AB＝CD，所以CD＝AB.因为F是CD的中点，所以DF＝CD＝×AB＝AB.因为E是AB的中点，所以EB＝AB，所以ED＝EB－DB＝AB－AB＝AB.所以EF＝ED＋DF＝AB＋AB＝AB＝10cm，所以AB＝12cm，所以CD＝AB＝16cm.10．A 11.B 12.135 13.40°14．解：设∠BOC＝2x°，则∠AOE＝5x°，∠AOD＝8x°.因为O是直线AB上一点，所以∠AOB＝180°，所以∠COE＝(180－7x)°.因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠COE，即5x＝180－7x，解得x＝15，所以∠AOD＝8×15°＝120°，所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°.15,15．解：(1)根据题意画出示意图，如图所示，线段有AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共有10条，因此有10种不同的票价．(2)同一路段，往返时起点和终点正好相反，所以要准备20种车票．(第15题)16．解：设这两个角的度数分别为5x°、4x°.由题意得5x＋4x＝180，9x＝180，x＝20.5x＝100，4x＝80.答：这两个角的度数分别为100°和80°.17．解：设AC＝2x，则CD＝3x，DE＝4x，EB＝5x，由M，N分别是AC，EB的中点，得MC＝x，EN＝2.5x.由题意，得MN＝MC＋CD＋DE＋EN＝x＋3x＋4x＋2.5x＝21，即10.5x＝21，所以x＝2，则PQ＝CD＋DE＝3.5x＝7.点拨：解答此题的关键是设出未知数，利用线段长度的比及中点建立方程，求出未知数的值，进而求解．体现了方程思想在解题中的应用．18．D 19.60°或20°20．解：画出四棱柱的侧面展开图，点M，N的位置如图(2)所示，则M，N的位置在四棱柱的位置如图(1)所示．(第20题)15
