期中达标检测卷一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)1．在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(－3，2)，则这个函数的图象一定经过点( )A．(2，－4)B．(－2，－3)C. D.3．如图，点A在反比例函数y1＝(x>0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2＝(x>0)的图象于点C.P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为( )A．5B．6C．11D．124．对于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是( )A．图象分布在第二、四象限 B．当x<0时，y随x的增大而增大C．图象经过点(3，－1) D．若点A，B都在图象上，且x1<x2，则y1<y25．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝(x>0)与y＝x－1的图象交于点P(a，b)，则代数式－的值为( ) A．－B.C．－D.6．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝( )A.B.C.D.7．比萨斜塔是意大利的著名建筑，如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D.通过测量可得AB、14
BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求得∠A的大小．下列关系式正确的是( )A．sinA＝B．cosA＝C．tanA＝D．sinA＝8．若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y19．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝的图象上，若AB＝2，则k的值为( )A．2B．2C．4D.10．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L·cosα，阻力臂L2＝l·cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是( )A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定11．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值为( )A.B.C.D.12．若点A(a－1，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数y＝(k<0)的图象上，且y1>y2，则a的取值范围是( )A．a<－1B．－1<a<1C．a>1D．a<－1或a>1二、填空题(本大题共8题，每题3分，共24分)13．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB14
的高度约为________m．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)14．如图，点A是反比例函数y＝(x>0)图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6.若点P(a，7)也在此函数的图象上，则a＝________.15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1＋y2的值为________．16．如图，点A、B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是________．17．如图所示，铁路的路基横断面为一个等腰梯形ABCD,AB＝DC，若腰AB的坡度为i＝2：3，顶宽AD＝3m，路基高AE＝4m，则路基的下底宽是________．18．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为________m．(结果保留根号)19．如图，在4×4的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠BAC＝________．20．点P，Q，R在反比例函数y＝(常数k＞0，x＞0)图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3.若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为________．三、解答题(本大题共7题，其中21题6分，22～26题每题8分，27题14分，共60分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)21．计算：(1)2cos30°－tan60°＋tan45°－sin60° (2)－2cos60°＋sin245°＋214
－122．直线y＝kx＋b过x轴上的点A，且与双曲线y＝相交于B、C两点，已知B点坐标为(2，－1)，求：(1)直线和双曲线的表达式；(2)△AOB的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝(x＞0)的图象上(点B的横坐标大于点A的横坐标)，点A的坐标为(2，4)，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB.(1)求k的值．(2)若D为OC的中点，求四边形OABC的面积．14
24．我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)如果OA＝3，OC＝2，求出经过点E的反比例函数表达式．14
26．如实景图，由某国企集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效速度．该桥的引桥两端各由两个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．(结果精确到0.1m，≈1.41，≈1.73)．27．如图，已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝的图象在第一、三象限分别交于A(6，1)，B(a，－3)两点，连接OA，OB.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)直接写出当y1>y2时x的取值范围．14
答案一、1.B 2.C3．B 【点拨】连接OA和OC.∵点P在y轴上，∴△AOC和△APC的面积相等．∵A在y1＝(x>0)的图象上，C在y2＝(x>0)的图象上，AB⊥x轴，∴S△AOC＝S△OAB－S△OBC＝6，∴△APC的面积为6.故选B.4．D5．C 【点拨】由题意得，函数y＝(x>0)与y＝x－1的图象交于点P(a，b)，∴ab＝4，b＝a－1，∴b－a＝－1，∴－＝＝－.6．B 【点拨】如图，作BD⊥AC于点D，设小正方形的边长均为1，由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3.∵S△ABC＝×3·BD＝×1×3，∴BD＝，∴sin∠BAC＝＝＝.故选B.7．A 【点拨】在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sinA＝，cosA＝，tanA＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确．故选A.8．C 【点拨】∵点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，∴y1＝－＝6，y2＝－＝－3，y3＝－＝－2，又∵－3＜－2＜6，14
∴y1＞y3＞y2.故选C.9．C10．A 【点拨】∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0.∴动力随着动力臂的增大而减小．∵杠杆向下运动时，α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，且动力臂L1＝L·cosα，∴此时动力臂也越来越大．∴此时的动力越来越小．故选A.11．A12．B 【点拨】∵k<0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大．①当点A(a－1，y1)，B(a＋1，y2)在图象的同一支上时，∵y1>y2，∴a－1>a＋1，此不等式无解；②当点A(a－1，y1)，B(a＋1，y2)在图象的两支上时，∵y1>y2，∴a－1<0，a＋1>0，解得－1<a<1.二、13.7.5 【点拨】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，易知四边形DEBC为矩形，∴DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，14
∴AE＝tan∠ADE·DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95(m)．∴AB＝AE＋BE≈5.95＋1.5≈7.5(m)．14. 【点拨】∵AB垂直于x轴，垂足为B，∴△OAB的面积＝|k|，即|k|＝6，又∵易知k＞0，∴k＝12，∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)．∵点P(a，7)也在此函数的图象上，∴7a＝12，解得a＝.15．0 【点拨】方法一 ∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，∴联立得方程组解得∴y1＋y2＝0.方法二 ∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，∴点A，点B关于原点对称，∴y1＋y2＝0.16．9 【点拨】∵点A、B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A(4，3)，B(2，6)，作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，如图．∴S△AOD＝S△BOE＝×12＝6.∵S△OAB＝S△AOD＋S梯形ABED－S△BOE＝S梯形ABED，∴S△AOB＝×(4＋2)×(6－3)＝9.17．15m18. 【点拨】如图，易知四边形DEFC和四边形CFBH都是矩形，∴DE＝CF＝HB＝5m，EF＝DC＝3.4m.14
在Rt△DEA中，∵∠DEA＝90°，∠EDA＝45°，∴∠DAE＝45°，∴DE＝EA＝5m.在Rt△BCF中，∵∠FCB＝30°，cos∠BCF＝，∴CB＝＝m，∴BF＝BC＝m，∵AB＋AE＝EF＋BF，∴AB＝3.4＋－5＝－1.6(m)．19.20. 【点拨】∵CD＝DE＝OE，∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，∴P，Q，R，∴CP＝，DQ＝，ER＝，∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，∴S1＝S3＝2S2.∵S1＋S3＝27，∴S3＝，S1＝，S2＝，故答案为.三、21.解：(1)原式＝2×－＋1－×＝－＋1－＝.(2)原式＝2－1＋＋＝2.22．解：(1)∵A，B在直线y＝kx＋b上，∴解得∴直线的表达式是y＝－2x＋3.14
∵点B在双曲线y＝上，∴－1＝，解得m＝－2，∴双曲线的表达式是y＝－.(2)S△AOB＝××1＝.23．解：(1)将点A的坐标(2，4)代入y＝(x＞0)，可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8.(2)∵k的值为8，∴函数y＝(x>0)的表达式为y＝(x>0)．∵D为OC的中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝(x>0)，可得y＝2，∴点B的坐标为(4，2)，∴S四边形OABC＝S△AOD＋S梯形ABCD＝×2×4＋×(2＋4)×2＝10.【点拨】(1)将点A的坐标(2，4)代入y＝(x＞0)，可得结果；(2)利用反比例函数的表达式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．24．解：(1)如图，过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H.∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°.∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°.∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°.∴BH＝BC×sin∠BCA＝150×＝75(海里)． 答：B点到直线CA的距离为75海里．(2)∵BD＝75海里，BH＝75海里，∴DH＝＝75海里．14
∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，∴在Rt△ABH中，tan∠BAH＝＝，∴AH＝25海里，∴AD＝DH－AH＝(75－25)海里．答：执法船从A到D航行了(75－25)海里．25．(1)证明：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形．又∵四边形OABC是矩形，∴OB与AC相等且互相平分，∴DA＝DB，∴四边形AEBD是菱形．(2)如图，连接DE交AB于点F.∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直且平分．∵OA＝3，OC＝2，∴EF＝DF＝OA＝，AF＝AB＝1，∴E点坐标为.设反比例函数表达式为y＝，把点E的坐标代入y＝中，得k＝xy＝，∴经过点E的反比例函数表达式为y＝.26．解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示，易知四边形AFDG和四边形14
DCHG都是矩形，∴DF＝GA，DC＝GH＝2m，AF＝DG＝CH.易得∠EDF＝30°，∴EF＝DE＝×4＝2(m)，DF＝EF＝2m，∵AE＝5m，∴CH＝AF＝AE－EF＝5－2＝3(m)，∵斜面BC的坡度为1：4，∴＝，∴BH＝4CH＝12m，∴AB＝AG＋GH＋BH＝2＋2＋12＝2＋14≈17.5(m)．答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m.【点拨】作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，易知四边形AFDG和四边形DCHG都是矩形，∴DF＝GA，DC＝GH＝2m，AF＝DG＝CH，由含30°角的直角三角形的性质得出EF＝DE＝2m，由锐角三角函数得出DF＝EF＝2m，求出CH＝AF＝3m，由斜面BC的坡度求出BH＝4CH＝12m，进而得出答案．27．解：(1)把A(6，1)的坐标代入y2＝中，解得m＝6，故反比例函数的表达式为y2＝；把B(a，－3)的坐标代入y2＝中，解得a＝－2，故B点坐标为(－2，－3)，把A(6，1)，B(－2，－3)两点的坐标代入y1＝kx＋b，得解得故一次函数的表达式为y1＝x－2.(2)如图，设一次函数y1＝x－2与x轴交于点C，令y＝0，得x＝4，∴点C的坐标是(4，0)，14
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×4×1＋×4×3＝8.(3)－2＜x＜0或x＞6.【点拨】(1)首先把A(6，1)的坐标代入反比例函数的表达式中确定m，然后把B(a，－3)的坐标代入反比例函数的表达式中确定a，然后根据A，B两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式；(3)根据图象，写出直线y1＝kx＋b落在双曲线y2＝上方的部分对应的自变量的取值范围即可．14
