立体几何中的各类角的求解专练一、选择题1．已知，，，是空间不共面的四个点，且，，则直线与（）．A．垂直B．平行C．相交D．位置关系不确定【答案】A【解析】过点作平面，垂足为．∵，由三垂线定理可得．同理，，所以．故选．2．如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，若，则异面直线和所成角为()．A．B．C．D．【答案】D【解析】∵M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，∴MN∥AD1，∵∠CMN=90∘，∴CM⊥MN，∴CM⊥AD1，由长方体的几何特征,我们可得CD⊥AD1，∴AD1⊥平面CDM故AD1⊥DM即异面直线AD1与DM所成的角为90∘故选D3．线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B【解析】设AB=a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，则AA′⊥β，连A′B，则∠ABA′=30°.在Rt△AA′B中，AB=a，所以AA′=a.同理作BB′⊥l于B′，连AB′，则∠BAB′=30°，所以BB′=a，AB′=a，所以A′B′==a，过B作BCA′B′.连接A′C，则A′CBB′，连接AC，在Rt△AA′C中，AC==a.由BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，且AC=BC，所以∠ABC=45°，为l与AB所成角.选B.4．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( )A．90°B．45°C．60°D．30°【答案】D【解析】设为的中点，连接则分别为，三角形的中位线．则，且且则与所成角的度数等于与所成角的度数又则为直角三角形，则在直角中，故选D5．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【解析】如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．6．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )A．75°B．60°C．45°D．30°【答案】B【解析】如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，则S＝×()2＝，VABCA1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.又AO＝＝1，∴tan∠PAO＝，∴∠PAO＝60°.选B.7．在三棱锥中，平面，已知，则二面角的平面角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为平面平面，即为二面角的平面角，又，所以，故为直角三角形，，二面角的平面角是，故选D.8．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是( )A．45°B．30°C．60°D．90°【答案】D【解析】如图，设正方形边长为a，作AO⊥BD，则AM＝又AD＝a，DM＝，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.选D.9．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为2，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tanθ＝(设θ为所求平面角)，所以二面角为60°，选C.10．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】C【解析】如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝．∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，∴∠CMA＝90°，故选C．11．如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是 ( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABD【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，又平面⊥平面，平面∩平面,平面，所以⊥平面，又平面，所以平面⊥平面。选D。12．如图，在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】取BC的中点E，连接AE，DE，则DE⊥底面ABC，∴∠DAE为AD与平面BC所成的角．设三棱柱的棱长为1，则AE，DE，∴tan∠DAE，∴∠DAE＝30°．故选：A．二、填空题13．如图，在正方体中，直线与所成角大小为_____【答案】【解析】连接，交于点，再连接，是在正方体中则是直线与平面所成的角，设正方体的边长为1则直线与平面所成的角的大小为故答案为14．在长方体中，，，则直线与平面所成角的余弦值等于______．【答案】【解析】连接，在长方体中，，，平面，是直线与平面所成角，直线与平面所成角的余弦值：．故答案为：．15．在三棱锥中，平面，，，则直线与平面所成角的大小为__________．【答案】【解析】作AD⊥PC，连接BD，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∵AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD，∵AD⊥PC，BC∩PC＝C，∴AD⊥平面PBC，∴∠ABD为AB与平面PBC所成角，在直角△PAC中，由等面积可得AD＝＝，在直角△ADB中，sin∠ABD＝＝=，∠ABD=∴AB与平面PBC所成的角为，故答案为：．16．等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为_____________．【答案】【解析】结合题意可知,所以,而发现所以,结合二面角的找法:如果两平面内两直线分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角,故为所求的二面角,为三、解答题17．如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，，平面，,.(1)求证:平面；(2)求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于，平面，平面．．又，．，，，即．又．平面．（2）连接．平面．，．为二面角的平面角．在中，，，，二面角的大小为．18．如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题。（1）求证：MN∥平面PBD；（2）求证：平面；（3）求PB和平面NMB所成的角的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】MN和PB的位置如右图示：（1）∵ND∥MB且ND＝MB，∴四边形NDBM为平行四边形∴MN//DB∵平面PDB,平面PDB∴MN∥平面PBD（2）∵平面ABCD，平面，∴又∵∴平面,面∴,同理可得,∵∴面PDB（3）连结PQ交MN于点E,∵,∴平面连结BE,则为PB和平面NMB所成的角在直角三角形PEB中∵∴=30°.即PB和平面NMB所成的角为30°19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.【解析】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.20．如图，已知中，，，且，，绕旋转至，使点与点之间的距离.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1），，，又平面，又在中，，，，，即，又平面（2）过作，在平面中作于，连，则为与所成角．，又因为，平面．，，又，，又∵在中，，即与所成角的余弦值为.21．如图所示，四棱锥中，，底面中，，，又，，为中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)取的中点为，连接、，则在中，且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，，因为平面，平面，所以平面。(2)取中点，连接，因为且，所以为平行四边形，，所以或其补角为PA与CB所成角，由题意得，所以，与所成角为。
