第二章恒磁场\n§1前言一、本章的基本内容及研究思路在静止电荷的周围存在着电场,如果电荷在运动,那么在它的周围就不仅有电场,而且还有磁场.不随时间变化的磁场称为稳恒磁场,有时也称为“静磁场”.稳恒电流激发的磁场就是一种稳恒磁场.运动的电荷（或电流）要产生磁场,磁场又会对其他的运动电荷（或电流）有作用力.本章就是从这两个方面来研究磁场的.各种矢量场在研究方法上有类似之处,稳恒磁场的许多基本规律也与静电场对应,可采用与静电场对比的方法研究稳恒磁场.这样就容易掌握本章的基本内容,也有利于今后的学习.\n二、本章的基本要求1.深刻理解磁感应强度B的概念及物理意义；2.毕奥—萨伐尔定律是本章的基本定律,要掌握其内容,并能熟练应用该定律计算磁感应强度B；3.理解稳恒磁场的两条基本定理,熟练应用安培环路定理计算具有对称性分布的磁场；4.正确理解并掌握安培定律和洛仑兹力公式,了解安培力和洛仑兹力的关系.\n§2磁的基本现象和基本规律一、磁的基本现象人类对磁现象的认识是很早的,最早发现的磁现象是天然磁石吸铁的现象,我国远在春秋战国时期（公元前六、七世纪）的古书中已有记载,我国古代的“磁石”写作“慈石”,意思是“石铁之母也.以有慈石,故能引其子”.我国河北省的磁县（古时称磁州和慈州）,就是因为附近盛产天然磁石而得名.指南针是我国古代的伟大发明之一,对世界文明的发展有重大影响.\n现在知道,人们最早发现的天然磁铁矿矿石的化学成分是Fe3O4.近代制造人工磁铁是把铁磁物质放在通有电流的线圈中去磁化,使之变成暂时的或永久的磁铁.根据需要可以制成条形、针形、蹄形等各种形状.一块磁体上磁性特别强的区域,叫做磁极.任何磁体都有两极：南极（S）和北极（N）,若将条形磁铁切断,无论切成几段,每一段都具有一个北极和一个南极,其他的磁体也具有这个性质,这表明磁体不存在独立的N极或S极,但是有独立存在的正电荷或负电荷,这是磁极与电荷的基本区别.[近代理论认为可能有独立磁极存在,这种具有磁南极或磁北极的粒子,叫做磁单极子,但至今尚未观察到这种粒子]\n实验表明：同名磁极互相排斥；异名磁极互相吸引.在历史上很长一段时期里,磁学和电学的研究一直彼此独立地发展着,人们曾认为磁与电是两类截然分开的现象.直至十九世纪初,一系列重要的发现才打破了这个界限,使人们开始认识到电与磁之间有着不可分割的联系.下面介绍几个这方面的实验：\n1.奥斯特实验：导线沿南北方向放置,下面有一可在水平面内自由转动的磁针.当导线中没有电流通过时,磁针在地磁场的作用下沿南北取向.当导线中通有电流时,磁针就会发生偏转.上述实验表明,电流可以对磁铁施加作用力.2.磁铁对电流（通电导线）也有作用力（水平直导线悬挂在马蹄形磁铁两极间,通电后,导线就会运动）.\n3.安培实验：通电导线之间有相互作用力,即电流和电流之间也有相互作用力.4.磁铁对运动电荷有作用力.电子流从电子射线管的阴极发射,形成一条电子射线,在旁边放置一块磁铁,就可以看到电子射线的路径发生偏转.大量实验证明,电现象和磁现象存在相互联系.我们知道,电的作用是“近距”的,磁极或电流之间的相互作用也是这样的,不过它通过另外一种场—磁场来传递的.\n下面我们用磁场的观点,可以把上述关于磁铁和磁铁,磁铁和电流,以及电流和电流之间相互作用的各个实验统一起来,概括成这样一个图示：磁场磁铁磁铁电流电流\n由于磁极与电荷之间有某些类似之处,最初曾认为磁极是“磁荷”集中的所在（称N极有“正磁荷”,S即由“负磁荷”）,并认为磁性起源于“磁荷”,磁铁之间的相互作用起源于“磁荷”之间的相互作用,通过一系列实验,才逐步认识到“磁荷是不存在的”.截流螺线管的行为很象一块磁铁,启发物理学家们提出这样的问题：磁铁和电流是否本源上是一致的？法国科学家安培提出磁性起源的假说—安培分子电流假说：组成磁铁的最小单元（磁分子）就是环形电流.二、物质磁性的起源—安培分子电流假说\n安培认为,任何物质的分子都存在环形电流,称为分子电流,分子电流产生的磁场在轴线上的方向可以用右手定则来判断,每一个分子电流相当于一个小磁体.当物质中的分子电流排列得毫无规则时,他们的磁场互相抵消,整个物体不显磁性,但是,在一定条件下,这些分子电流比较有规则的定向排列起来,他们的磁场互相加强,整个物体就会显示出磁性.安培的分子电流的想法基本上是正确的,近代物理学证实,分子电流是由原子中的各个电子自旋和电子的轨道运动合成的结果.\n分子环流假说：1822年,安培：一切磁现象的根源是电流,物质的磁性来源于分子电流.图2.1安培电流\n电流磁场电流这样看来,上面的图示可简化为：注意：无论电荷静止还是运动,它们之间都存在着库仑相互作用,但是只有运动着的电荷之间才存在着磁相互作用.\n4个实验和一个假设\n四.安培定律电流元安培定律（参见图2.2）故矢量式同理图2.2安培定律图2.3矢积手势\nSI制中——真空的磁导率【例1】：平行电流元之相互作用.【例2】：垂直电流元之相互作用.两电流元之间相互作用不满足牛顿第三运动定律；两闭合电流之积分相互作用仍满足牛顿第三运动定律.图2.5垂直电流元图2.4平行电流元\n§2.磁感应强度毕奥-萨伐尔定律电流磁场电流一、磁感应强度（磁铁,电流,电流元）任何运动电荷或电流,在周围空间产生磁场,磁场对外的重要表现是：（1）磁场对引入磁场中的其他运动电荷或载流导体有磁力的作用；（2）载流导体在磁场内移动时,磁场的作用力将对载流导体作功.这些表现说明了磁场的物质性.\n令即一般——磁感应强度方向：试验电流元受力为零的方向；大小：单位试验电流元受最大力.单位：N/Am,T,Gs1T=1N/Am=10^4Gs\n二、毕奥-萨伐尔定律矢量积分的磁场：回路L的磁场：大小,方向,右螺旋方向\n三.长直电流的磁场θ1θ2如图2.6所示,取l处dl,电流元,方向×各dB同向由得I图２.6长直电流a×θOldl\n【讨论】：当a<<L,则无限长直电流的磁场当a<<L,场点位于一端,则半无限长直电流的磁场θ1θ2I图２.6长直电流a×θOldl\n推广平面电流,平板电流,无限大平面电流,无限大平板电流圆弧面电流,圆弧体电流,圆柱面电流,圆柱体电流↑Ixy图２.7平面电流Ixyz图２.8圆弧电流\n四.圆电流轴线上的磁场θxaIx图２.9圆电流的磁场圆电流I半径为a,轴线沿x,如图2.9所示.,方向如图.由对称性可知,总磁感应强度沿x方向.得方向沿轴线.故其中\n【讨论】：定义线圈的磁矩,则圆心处x=0或当a<<x,则x≈r或扩展亥姆霍兹线圈平面线圈螺线管图２.10亥姆霍兹线圈单匝时：N匝时：\n亥姆霍兹线圈方向沿轴线.θxaIx圆电流的磁场\n五.载流螺线管内的磁场设螺线管半径a,匝密度n,电流I,求轴线上O点处的磁感应强度.θ1θ2取圆电流nIdl,O图２.11载流螺线管,沿轴向变换又由得,方向均沿轴向故dllθO点处\n【讨论】：载流无限长直螺线管内的磁感应强度载流半无限长直螺线管内的磁感应强度实践中,螺线管长L,直径D,若L≥4D则螺线管内部可视为均匀磁场.\nSdlI图2.12电流元与电荷六.低速运动电荷的磁场设电流元Idl的截面积为s,其载流子浓度n,电量q,平均速度,则电流元中载流子数激发之磁场(1)(2)或由式(1)和式(2)可得,平均每个载流子激发的磁场\n2End低速运动电荷的电场和磁场——真空中的光速如图2.13所示,电荷q以速度υ沿x轴运动,则在空间P点的电场图2.13电荷的电场和磁场qxyzP显然\n§3安培环路定理载流线圈与磁偶极层的等价性安培环路定理的表述和证明磁感应强度是轴矢量安培环路定理应用举例\n载流线圈与磁偶极层的等价性证明闭合载流线圈产生的磁场正比于线圈回路对场点所张的立体角的梯度设想P有一小位移dL2相当于P不动线圈作-dL2L1在P点产生的磁感应强度\n灰色面元所对立体角整个线圈在位移-dL2扫过的环带对场点p所张的立体角也可理解为场点P作平移dL2引起立体角变化可看成是场点坐标r2的函数:曲面S对P点所张立体角‘:曲面S’对P点所张立体角\n坐标r2的函数泰勒展开反映了载流线圈与磁偶极子是等价的两个讨论磁化的模型是等价的在下面证明安培环路定理时直接引用\n1.安培环路定理即：磁感应强度B沿任意闭合曲线L的线积分=穿过这闭合曲线内所有传导电流强度的代数和I的正负规定：1)当I与L的环饶方向成右手关系时,I>0,反之I<0.2)若I不穿过L,则I=0I1I2L例如：I1I2I3LI3>0<0IL\n从毕奥—萨筏尔定律出发先考虑单回路再推广L与载流回路套连L2穿过S时B是连续且有限的,——0一.证明载流回路为边界的曲面S曲面两侧两点无限趋近曲面时,立体角趋近于4\n如果,安培环路与载流回路不套连,则环绕它一周立体角回到原值,积分为0运用叠加原理,推广到多个载流回路空间所有电流产生的磁感应强度矢量和穿过闭合环路的电流\n二证明：以无限长载流导线为例1）闭合曲线L围绕电流,且曲线所在平面垂直载流导线LLIIdldl'dl''L'.dlBB\n由毕萨定理可求得：长直导线旁若L的方向不变,而电流反向则：2）若闭合曲线不在垂面上：dl分解所有dl'在垂面上形成L'即：dl'dl''\n3)闭合曲线L不包围载流导线oLdldl'从o点引出夹角为d的两条射线,在L上截得dl、dl'电流I在dl、dl'处的磁场分别为：且有：=0每对线元的B·dl之和均为0整个闭合路径积分注：不穿过闭合回路L的电流I对无贡献,但对L上各点的B贡献不为0I\n4）闭合曲线L包围多根载流导线1),2)已证一长直导线I,当它穿过L时,由I的方向不同0I–0I3)已证,I不穿过L时,若同时有K根载流导线,并且I1…In穿过L,而In+1…IK不穿过L那么：而：矢量叠加：即：适用于稳恒磁场的任何情况若穿过回路的电流是连续分布：\n磁感应强度是轴矢量镜像反射的变化规律极矢量：与镜面平行分量不变,垂直分量反向dl、r、v、F、E、P轴矢量：与镜面垂直分量不变,平行分量反向两个极矢量叉乘＝轴矢量B推论：镜面对称的载流系统在镜面处产生的磁感应强度垂直于镜面\n例6.半径为R的无限长圆柱载流直导线,电流I沿轴线方向流动,并且载面上电流是均匀分布.计算任意点P的B=？解：先分析P点的B方向P.I由电流对称分布可知：取过P点半径为r=op的圆周L,L上各点B大小相等,方向沿切线r>R时由安培环路定理得：若r<R同理：BR与毕萨定理结果一致L\n例7.一无限大平面,有均匀分布的面电流,其横截线的电流线密度为i,求平面外一点B=？i..........abcd解：由对称可知并且离板等距离处的B大小相等.过P点取矩形回路abcdL其中ab、cd与板面等距离.00.P与P点到平板的距离无关.i•×i×00\n例9.求通电螺绕环的磁场分布.已知环管轴线的半径为R,环上均匀密绕N匝线圈,设通有电流I.解：由于电流对称分布,与环共轴的圆周上,各点B大小相等,方向沿圆周切线方向.取以o为中心,半径为r的圆周为L当R1<r<R2若r<R1若r>R2IR当R管截面<<R即rR...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.orr\n三.安培环路定律的应用长直螺线管的磁场图4.18长直螺线管的磁场设：匝数密度n,电流强度I,取环路L=ABCDA,如图4.18.分析：的方向必沿轴向；的大小沿轴向不变.路径AB//轴线,AB上为恒量；路径BC和DA与垂直；路径CD在螺线管外,=0.所以则得ABCDL\n【讨论】：可以证明螺线管内：=恒矢量,螺线管外：=0,A’B’C”D”ABCDL比较图中ABCDA与A’B’CDA’环路；比较图中ABCDA与ABC”D”A环路；\n螺绕环（罗兰环）的磁场设匝数N,电流I,管半径R,取环路为贯穿管内的圆,其半径为r,见图4.19.r图2.19螺绕环的磁场由定律分析得所以【讨论】：若R<<r,B=μ0nI,同无限长螺线管.\n均匀载流长直圆柱体的磁场设：长直圆柱体半径R,沿轴向通以电流I,且横截面上均匀分布.图2.20载流圆柱体的磁场柱外(r≥R)：L1分析得按定律则I\n柱内(r≤R)：分析得按定律则均匀载流长直圆柱体的磁场分布见图2.21.RBrO图2.21载流圆柱体磁场分布曲线图2.20载流圆柱体的磁场L2I\n【讨论】：均匀载流长直圆柱体的磁场问题可扩展为载流圆柱面,载流圆柱管,多层载流圆柱管（体）；非均匀载流圆柱体,非均匀载流圆柱管,非均匀载流多层圆柱管（体）；\n(b)补偿法补偿法：（叠加原理）图2.22补偿法求磁场(a)偏心管I沿偏心管轴线方向通以电流I,电流沿实体横截面均匀分布,见图2.22(a).补偿法如图4.22(b).可以证明,方向与两轴垂直连线垂直.2End\n线：闭合,或伸向无穷远；与电流方向成右螺旋关系；与回路互相套连；线密度=B（大小）.约定比例,取整磁通量：§４磁场中的高斯定理一.高斯定理单位：韦伯(Wb),1Wb=1T·m2高斯定理：或\n高斯定理的证明θS图２.14高斯定理的证明参见图2.14,电流元的磁感应线两处穿过闭面S的通量再根据叠加原理,即可得\n利用数学的高斯定理磁高斯定理的微分形式说明恒磁场的散度为零——无源场\n无源场有旋场非保守场一般不引入标势磁矢势然而磁场的主要特征：无源（无散）——磁高斯定理其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势\n磁高斯定理表明：对任意闭合面磁通量仅由S的共同边界线所决定可能找到一个矢量A,它沿L作线积分等于通过S的通量数学上可以证明,这样的矢量A的确存在,对于磁感应强度B,A叫做磁矢势,A在空间的分布也构成矢量场,简称矢势\n其实标势也不唯一,零点可选描述同一个磁感应强度B根据矢量分析对任意矢量A有矢势的特点如：对于任意标量场的梯度,有类似于电势零点可以任取,规范也可任意选取通常选库仑规范:A=0\n电流元的磁矢势设磁矢势a与电流元平行（因为对矢势变换规范可以任选,选库仑规范A=0的结果）——a只有z分量以电流元为轴,取柱坐标（、、z)只有这一段积分有贡献\n场点P和回路L在＝0的平面内通过L的磁感应通量为：计算通过L的通量消去dl\n电流回路假如电流在载流截面上不均匀分布上式为电流元所产生的磁场中矢势的一个表达式——矢势表达式不唯一任意闭合载流回路L1在空间某点的矢势电流在导线截面上均匀分布\n找电流产生的磁场中磁矢势的表达式两种办法普通物理的方法电流元的磁矢势p113式（2.55)任意闭合回路的磁矢势式（2.56)例题9例题10\n矢势公式的应用举例取回路求磁通量例题9：一对平行无限长直导线,载有等量反向电流I,求磁矢势.先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）设矢势A只有z分量无限长——Az与z无关轴对称——Az与无关Az只是的函数：Az＝Az()\n一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差两根无限长载流直导线的磁矢势矢量叠加（如图）叠加得P点总矢势取Q零点\n例题10：无限长圆柱型导体,半径为R,载有在界面上均匀分布的电流I,求磁矢势r<R：导线内部P点,取Q点在导体轴线上,取回路如图,通过回路的磁通量r>R：导线外部同例题9,取Q点在导体表面,外部任意点P与Q点的矢势差为\n引入新课：已学习两方法：①（原则上）②（对称时）§5磁场对载流导线的作用稳恒磁场的基本问题包含两方面的主要内容：(1)已知I分布,求分布.\n综合概括为：正问题逆问题I一、安培力安培定律分成两个部分,写出公式为：(2)已知分布,求对I的作用.此力称为安培力,为试探电流元.\n1、力的方向和大小方向：由叉积确定大小：2、安培力的双重功用①定义；②可用于计算磁力常用形式为：\n安培力叠加原理计算各种载流回路在外磁场作用下所受的力平行无限长直导线间的相互作用\n电流强度的单位“安培”的定义一恒定电流,若保持在处于真空中相距1m的两无限长、而圆截面可忽略的平行直导线内,则在此两导线之间产生的力在每米长度上等于210－7N,则导线中的电流强度定义为1A（p135）与P108的定义等价,但注意两个定义表述上的区别\n磁力矩(一）在均匀磁场中刚性矩形线圈——不发生形变；合力=0,合力矩＝？磁矩m\n磁力矩(二）在均匀磁场中任意形状线圈将线圈分割成若干个小窄条小线圈所受力矩dL若线圈平面与磁场成任意角度,则可将B分解成总力矩\n线圈的磁矩所受的力矩结论：磁矩的方向\n[结论]任意形状平面载流回路在均匀场中受合力、合力矩为整体不发生平动,但转动,使转向的方向.3、直流电动机和电流计原理(1)直流电动机转动原理)θNS电刷\n（2）磁电式电流计原理NS永磁体示值线圈游丝（产生反力矩）NS铁芯圆柱体N匝ab轴\n三、知识扩展1、非均匀磁场中的平面载流线圈由于线圈各部分所在处不同,一般地：线圈作复合运动（平动+转动）转动的结果：使转向.平动的结果：使线圈整体向强场区移动,使尽量取大；\n例：载流直导线的磁场中放置矩形载流回路,研究回路的运动情况.aI2bI1r(a)共面（平动）ωI2I1(b)非共面（平动+转动）\n一.洛仑兹力§6带电粒子在磁场中的运动按经典理论,可从安培力推导出运动电荷所受磁力.设：电流元的截面积S,如图２.33dls图２.33推算洛仑兹力I带电粒子数密度,电量,由则或(a)(b)图2.33电子束受洛仑兹力而偏转平均速度,\n二.带电粒子在磁场中的运动带电粒子电量,质量,初速度,磁感应强度匀速直线运动匀速圆周运动常量匀速直线运动匀速圆周运动螺旋运动图２.35电子在磁场中作螺旋运动与无关与夹角\n三.回旋加速器××××××××××××××××○＋图２.36回旋加速器T~结构：逐步参见图２.36一对D型盒（电极）,半径R；交变电场（电源）,周期T;磁场,磁感应强度B.原理：D型盒电极间加速电场周期=回旋共振周期粒子通过电极间隙时总被加速,最终速率受相对论效应约束,当不是常量时,其基本原理不再满足.\n四.磁聚焦电子枪、电子透镜电子的飞行速率周期螺距屏距θe图２.37电子枪示意图（图２.38例,n=2）电聚焦与磁聚焦改变电场E,即改变υ图２.38电子束的磁聚焦tL改变磁场B,均改变t,L\n五.磁约束约束力I图4.39正离子被磁约束示意图\n六.荷质比的测定W.Thomson测荷质比的方法当E和B的值适当时,可使电子束不偏转,即由式⑴、⑵得荷质比,或⑴切断电场,电子在磁场中作圆周运动,圆周半径⑵××××××××××××××××××++--kAA’Soo’图２.40汤姆孙测荷质比-e-e电子运动出磁场后依惯性前进.由屏S上光点偏移量oo’和仪器参数可测算出R的值.其参数包括结构尺寸,电、磁场分布等.荷质比与速度有关,这符合狭义相对论观点\n5End磁聚焦法测荷质比如图２.41,A—k间加电压ΔU,电子的动能,即在电容C上加一小交变电场,使不同时刻通过的电子偏转不同.在C与S之间加聚焦磁场B,调节B,使电子束聚焦于屏S平面上,则（n=1,如何确定？）⑶⑷由式⑶、⑷得荷质比lkACSo图２.41磁聚焦法测荷质比-e△U\n§6霍耳效应一.霍耳现象与实验规律试验规律：式中Ｋ——霍耳系数,______VIbd+++++++_图2.42霍耳效应实验与元件的形状大小无关,(a)正载流子UH>0(b)负载流子UH<0I图2.43霍耳现象初析与通过的电流强度无关,与外加磁感应强度无关.表征材料本身的性质.\n二.经典解释设载流子电量,平均速度,磁感应强度,则洛仑兹力静电场力平衡时得而故大小：方向：指向高电势（电动势的方向）由得比较实验规律得\n【讨论】：K有正、有负,反映载流子的性质；K∝1/n,故金属的霍耳现象不显著；金属中有些K>0,反映经典理论的局限性.实测二价金属铍Be、锌Zn、镉Cd,K依次为24.4,3.3,6.0\n三.应用判别载流子性质,n型,p型；测量载流子浓度n；磁量磁场：高斯计.【注】：表征元件的性质,与元件的尺寸有关.比较得d越小,霍耳元件的灵敏度越高.Ibd图2.44霍耳元件6End
